燕尾定理詳細(xì)解析題庫教師版

1、1例題精講例題精講燕尾定理：燕尾定理：在三角形在三角形中，中，，，相交于同一點(diǎn)相交于同一點(diǎn)，那么，那么ABCADBECFO::ABOACOSSBDDC???OFEDCBA上述定理給出了一個(gè)新的轉(zhuǎn)化面積比與線段比的手段，因?yàn)樯鲜龆ɡ斫o出了一個(gè)新的轉(zhuǎn)化面積比與線段比的手段，因?yàn)楹偷男螤詈芟笱嘧拥奈舶停赃@的形狀很象燕子的尾巴，所以這ABO?ACO?個(gè)定理被稱為燕尾定理該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運(yùn)用，它的特殊性在于，它可以存在于任何

2、個(gè)定理被稱為燕尾定理該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運(yùn)用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一個(gè)三角形之中，為三角形中的三角形面積對(duì)應(yīng)底邊之間提供互相聯(lián)系的途徑一個(gè)三角形之中，為三角形中的三角形面積對(duì)應(yīng)底邊之間提供互相聯(lián)系的途徑.通過一道例題證明一下燕尾定理：通過一道例題證明一下燕尾定理：如右圖，如右圖，是上任意一點(diǎn)，請(qǐng)你說明：上任意一點(diǎn)，請(qǐng)你說明：DBC1423:::SSSSBDDC??S3S1S4S2EDCBA【解析】三角形與三角形

3、同高，分別以、為底，BEDCEDBDDC所以有；三角形與三角形同高，；三角形與三角形14::SSBDDC?ABEEBD12::SSEDEA?ACE同高，，所以；綜上可得.CED43::SSEDEA?1423::SSSS?1423:::SSSSBDDC??【例【例1】（20092009年第七屆希望杯五年級(jí)一試試題）如圖，三角形年第七屆希望杯五年級(jí)一試試題）如圖，三角形的面積是的面積是，是的中點(diǎn)，點(diǎn)的中點(diǎn)，點(diǎn)ABC1EACD在上，且上，且，

4、與交于點(diǎn)交于點(diǎn)則四邊形則四邊形的面積等于的面積等于BC:1:2BDDC?ADBEFDFECFEDCBA33321FEDCBAABCDEFFEDCBA【解析】方法一：連接，CF燕尾定理燕尾定理3【解析】連接，CF根據(jù)燕尾定理，，2639ABFACFSBDSDC???△△36510ABFCBFSAESEC???△△設(shè)份，則份份，份，份，6ABFS?△9ACFS?△10BCFS?△5459358EFCS????△310623CDFS????△

5、所以24545200(6910)(6)8(6)93(cm)88DCFES??????????【鞏固】如圖，已知【鞏固】如圖，已知，，與相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)則被分成的被分成的部分面積各占部分面積各占3BDDC?2ECAE?BECDOABC△4面積的幾分之幾？面積的幾分之幾？ABC△OEDCBA13.54.59211213OEDCBA【解析】連接設(shè)份，則其他部分的面積如圖所示，所以份，所以四部CO1AEOS?△1291830ABCS?????△

6、分按從小到大各占面積的ABC△124.5139313.5930306030103020????【鞏固】【鞏固】(年香港圣公會(huì)數(shù)學(xué)競(jìng)賽年香港圣公會(huì)數(shù)學(xué)競(jìng)賽)如圖所示，在如圖所示，在中，中，，，與相交相交2007ABC△12CPCB?13CQCA?BQAP于點(diǎn)于點(diǎn)，若，若的面積為的面積為，則，則的面積等于的面積等于XABC△6ABX△XQPABCXQPABC4411XQPCBA【解析】方法一：連接PQ由于，，所以，12CPCB?13CQCA

7、?23ABQABCSS?AA1126BPQBCQABCSSS??AAA由蝴蝶定理知，，21:::4:136ABQBPQABCABCAXXPSSSS???AAAA所以4412262.455255ABXABPABCABCSSSS???????AAAA方法二：連接設(shè)份，根據(jù)燕尾定理標(biāo)出其他部分面積，CX1CPXS?△所以6(1144)42.4ABXS???????△【鞏固】如圖，三角形【鞏固】如圖，三角形的面積是的面積是，，，與相交于點(diǎn)相交于