微積分ii全書(shū)整理

1、第一部分第一部分多變量微分學(xué)多變量微分學(xué)一、多元函數(shù)極限論一、多元函數(shù)極限論1.多元函數(shù)極限的定義：（1）鄰域型定義：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，是的聚點(diǎn)，如果存在常數(shù)，對(duì)于)(PfD0PDA任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得當(dāng)點(diǎn)時(shí)，都有，??)(0PUDP???????APf)(那么就稱常數(shù)為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記作A)(Pf0PP?.)(lim0APfPP??（2）距離型定義：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，是的聚點(diǎn)，如果存在常數(shù)，對(duì)于)(PfD0PDA任意給定

2、的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得當(dāng)點(diǎn)，且時(shí)，都有??PD?????)(00PP，那么就稱常數(shù)為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記作???APf)(A)(Pf0PP?.)(lim0APfPP??注：①這里給出的是數(shù)學(xué)分析中國(guó)際通用的定義，已自然排除了鄰域內(nèi)的無(wú)定義點(diǎn)；0P②極限存在的充要條件：點(diǎn)在定義域內(nèi)以任何方式或途徑趨近于時(shí)，都有極限；P0P)(Pf③除洛必達(dá)法則、單調(diào)有界原理、窮舉法之外，可照搬一元函數(shù)求極限的性質(zhì)和方法，常用的有：等價(jià)無(wú)窮小替換、無(wú)窮小有

3、界量=無(wú)窮小、夾擠準(zhǔn)則等；④若已知存在，則可以取一條特殊路徑確定出極限值；相反，如果發(fā)現(xiàn)點(diǎn)以)(lim0PfPP?P不同的方式或途徑于時(shí)，區(qū)域不同的值，則可斷定不存在.0P)(Pf)(lim0PfPP?⑤二元函數(shù)的極限記為或.Ayxfyxyx??)(lim)()00（Ayxfyyxx???)(lim002.多元函數(shù)的連續(xù)性：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，是的聚點(diǎn)，如果，且有)(PfD0PD0PD?，則稱在處連續(xù)；如果在區(qū)域的每一點(diǎn)處都連續(xù)，)()(

4、lim00PfPfPP??)(Pf0P)(PfE則稱在區(qū)域上連續(xù).)(PfE注：①如果，只稱“不連續(xù)”，而不討論間斷點(diǎn)類型；)()(lim00PfPfPP??②在有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)擁有和一元函數(shù)類似的性質(zhì)，如有界性定理、一致連續(xù)性定理、最大值最小值定理、介值定理等.3.二重極限與累次極限累次極限與二重極限的存在性之間沒(méi)有任何必然的聯(lián)系，但若某個(gè)累次極限和二重極限都存在，則它們一定相等；反之，若兩個(gè)累次極限存在而不相等，則二重極限一定

5、不存在，又若兩個(gè)累次極限存在且相等，稱累次極限可以交換求極限的順序.③嚴(yán)格遵守用位置表示偏導(dǎo)數(shù)的規(guī)則，注意避免符號(hào)混亂和歧義；④對(duì)于求高階偏導(dǎo)數(shù)的問(wèn)題，不論對(duì)誰(shuí)求導(dǎo)，也不論求了幾階導(dǎo)，求導(dǎo)后的新函數(shù)仍具有與原來(lái)函數(shù)相同的復(fù)合結(jié)構(gòu)（注意若偏導(dǎo)連續(xù)則相等，要合并同類項(xiàng)）.（2）全微分形式不變性：僅一階全微分可以使用，高階全微分不再成立.（3）隱函數(shù)存在性及求導(dǎo)法則：①一個(gè)方程的情形（以三個(gè)變量為例）：設(shè)在點(diǎn)某鄰域內(nèi)偏導(dǎo)連續(xù)，)(zyxF)(

6、000zyx且，，則方程在點(diǎn)內(nèi)某鄰0)(000?zyxF0)(000?zyxFz0)(?zyxF)(000zyx域內(nèi)可唯一確定單值函數(shù)，這個(gè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，)(yxzz?)(00yx且，.結(jié)論不難推廣到一般情形.zxFFxz????zyFFyz????②方程組的情形：一般地，設(shè)方程組可確)21(0)(2121miuuuxxxFmni?????定個(gè)元函數(shù).當(dāng)雅可比行列式mn)(21niixxxuu??0)()(11112

7、212121112121???????????????????????mmmmmmmuFuFuFuFuFuFuFuFuFuuuFFFJ????????時(shí)，可以確定，其中由將分母中的第個(gè)元素替換成JJxuji??????J)()(2121mmuuuFFFJ?????i得到.（雅可比行列式在橫向上改變各自變量，縱向上改變各函數(shù)名稱）jx注：①求導(dǎo)前應(yīng)事先判斷，個(gè)變?cè)?，個(gè)方程可確定個(gè)元函數(shù)；abb)(ab?②有些比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題不必使用此通法，