用叉乘求法向量

1、0平面法向量的求法及其應(yīng)用平面法向量的求法及其應(yīng)用一、一、平面的法向量平面的法向量1、定義、定義：如果，那么向量叫做平面的法向量。平面的法向量共有兩大???a?a??類（從方向上分），無數(shù)條。2、平面法向量的求法、平面法向量的求法方法一(內(nèi)積法):在給定的空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)平面的法向量[或?(1)nxy??，或]，在平面內(nèi)任找兩個不共線的向量。由，得(1)nxz??(1)nyz???ab??n???且，由此得到關(guān)于的方程組，解此方程組

2、即可得到。0na????0nb????xyn?方法二：任何一個的一次次方程的圖形是平面；反之，任何一個平面的方程是zyx的一次方程。，稱為平面的一般方程。zyx0????DCzByAx)0(不同時為CBA其法向量若平面與3個坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為如圖)(CBAn??)00()00()00(321cPbPaP所示則平面方程為:稱此方程為平面的截距式方程，把它化為一般式即可求1???czbyax出它的法向量。方法三(外積法):設(shè)為空間中兩個不平行的

3、非零向量，其外積為一長???ba度等于，（θ為兩者交角，且），而與皆垂直?sin||||??ba????0的向量。通常我們采取「右手定則」，也就是右手四指由的方向轉(zhuǎn)為的方向時，大拇指所指的方向規(guī)定為的方向。???ba????????abba:)()(222111則設(shè)zyxbzyxa????????????21yyba21zz21xx?21zz21xx????21yy（注：1、二階行列式:；2、適合右手定則。）caM?cbaddb??例1

4、、已知，，)121()012(?????ba試求（1）：（2）：???ba.???abKey:(1))521(?????ba)521()2(?????ab例2、如圖11在棱長為2的正方體1111ABCDABCD?中，求平面AEF的一個法向量。n?圖11C1CByFADxA1D1zB1E)221(:??????AEAFnkey法向量圖211α?B?nAC2為平面α內(nèi)任一點(diǎn)，平面的法向量為，則點(diǎn)P到n平面α的距離公式為||||?????nn

5、ABd（3）、直線與平面間的距離:方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)：如圖26直線與平面之間的距離：a?，其中。是平面的法向量||ABndn????????aBA???n??（4）、平面與平面間的距離:方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)：如圖27兩平行平面之間的距離：??，其中。是平面、的法向量。||||?????nnABdAB????n???3、證明證明（1）、證明線面垂直：在圖28中向是平面的法向量，?m?是直線a的方向向量，證明平面的法向量與直線所在向量共線（?a）

6、。???am?（2）、證明線面平行：在圖29中向是平面的法向量，是直線a?m??a的方向向量，證明平面的法向量與直線所在向量垂直（）。0????am（3）、證明面面垂直：在圖210中，是平面的法向量，是平面?m??n的法向量，證明兩平面的法向量垂直（）?0????nm（4）、證明面面平行：在圖211中向是平面的法向量，是?m??n平面的法向量，證明兩平面的法向量共線（）。????nm?三、高考真題新解三、高考真題新解1、（2005全國I