向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示練習(xí)及答案

1、向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示重點(diǎn)知識(shí)歸納及講解重點(diǎn)知識(shí)歸納及講解1、實(shí)數(shù)與向量的積定義定義一般地，實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa其長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：①|(zhì)λa|＝|λ||a|②當(dāng)λ＞0時(shí)，λa與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0與a平行運(yùn)算律運(yùn)算律①結(jié)合律λ(μa)＝(λμ)a②第一分配律(λμ)a＝λaμa③第二分配律λ(ab)＝λaλb2、兩個(gè)向

2、量共線的充要條件（向量共線定理）定理定理向量b與非零向量a共線的充要條件是有且僅有一實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.a.數(shù)學(xué)表達(dá)式數(shù)學(xué)表達(dá)式b∥ab＝λa(a≠0λ∈R).3、平面向量基本定理定理定理如果e1、e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)任一向量a，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2，使a＝λ1e1λ2e2.基底基底不共線的e1與e2叫做平面內(nèi)表示所有向量的一組基底.說(shuō)明：說(shuō)明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共線

3、就行.（2）由定理可將任一向量按基底方向分解且分解形成唯一4、平面向量的坐標(biāo)表示定義定義若i、j為平面直角坐標(biāo)系中與x軸、y軸同向的單位向量，則對(duì)于平面內(nèi)任一向量a，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y，使得a＝xiyj；我們把(x，y)稱為向量a的坐標(biāo).表達(dá)式表達(dá)式a＝xiyj＝(x，y)5、向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系意義意義一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo).表達(dá)式表達(dá)式若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則①2a－3b＝

4、4e且a＋2b＝－3e；②存在相異實(shí)數(shù)λ、μ，使λaμb＝0；③xayb＝0（其中實(shí)數(shù)x、y滿足xy＝0）；④已知梯形ABCD，其中A①②B①③C②④D③④解析：A、B均含有①，而C、D均含有④，所以可先判定①或④若①能使a、b共線，則只有從A、B中進(jìn)一步作出選擇，若①不能使a、b共線，則應(yīng)從C、D中進(jìn)一步作出選擇首先判定①能否使a、b共線由向量方程組：∴b＝10a，∴a、b共線，因此可排除C、D而由②可得λ、μ是相異實(shí)數(shù)，所以λ、μ不

5、同時(shí)為0，不妨設(shè)μ≠0，∴，故a、b共線，所以排除B，選擇A答案：A例2、如圖所示，已知梯形ABCD中AD∥BC，E、F分別是AD、BC邊上的中點(diǎn)，且BC＝3AD，試以a、b為基底表示分析：我們首先應(yīng)根據(jù)AD∥BC且AD＝BC，用b表示，然后反復(fù)采用向量和與差的三角形法則就可計(jì)算出所求向量解答：AD∥BC且AD＝BC，例3、如果向量，其中i、j分別是x軸、y軸正方向上的單位向量，試確定實(shí)數(shù)m的值使A、B、C三點(diǎn)共線.分析：由A、B、C三