談?wù)剬τ谖⒎址?df 的理解

1、談?wù)剬τ谖⒎址栒務(wù)剬τ谖⒎址杁f的理解的理解[轉(zhuǎn)載轉(zhuǎn)載]2011111114:15:02|分類：math|舉報|字號訂閱☆─────────────────────────────────────☆Cracker(rock)于(ThuAug610:37:132009)提到:發(fā)信人:symplectic(身無彩鳳雙飛翼)信區(qū):Mathematics標(biāo)題:談?wù)剬τ谖⒎址杁f的理解發(fā)信站:北大未名站(2003年05月28日07:29:0

2、7星期三)站內(nèi)信件這兩天，不斷有人問起這個問題，倒值得認(rèn)真討論一下。記得別人回憶陳省身先生的文章里也提到，五十年代時，研究生們看到他在黑板上隨意寫下外微分表達(dá)式dx，還會覺得驚訝和迷惘。我在這里重新整理了一下自己以往的認(rèn)識。這里寫下來，就正于大家，也許對學(xué)習(xí)微分流形的朋友會有幫助。問題的確切表述，應(yīng)該是這樣：給定微分流形M上的可微函數(shù)f，問表達(dá)式df=f_idx^i的確切含義是什么？這里x^i表示一個局部坐標(biāo)系的坐標(biāo)分量，f_i表示f對

3、x^i的偏導(dǎo)數(shù)。這個表達(dá)式，其實(shí)在多元微積分里已經(jīng)出現(xiàn)了。估計(jì)最初大家都跟我一樣，把它當(dāng)作是一個方便的形式記號。在當(dāng)時的條件下，df可以理解為n元函數(shù)f的Jacobian的另一種表達(dá)方法。注意這時的Jacobian應(yīng)該是一個n元向量，則f_i表示的是此向量的各個分量，而dx^i意味著此分量表達(dá)是相對于坐標(biāo)x^i而確定的。從微分流形的觀點(diǎn)而言，我們可以有更好、更深入的看法。我們不妨設(shè)想自己處于這個理論創(chuàng)立者的地位上，那么很自然地要考慮：給

4、定微分流形M，上面有什么自然的構(gòu)造？這個看法，既是直觀的(借助了幾何圖象)，同時又是抽象的(采用了等價類的代數(shù)描述)。好了，我們再來看第二類對象，它們是任意函數(shù)在p點(diǎn)處的微分，它們同樣可以描述為一些等價類，其中每一類里包含的是一些在p點(diǎn)鄰域上取值的函數(shù)，它們沿任意方向的方向?qū)?shù)相同。同樣我要在這里提醒大家注意，這里沿某方向的方向?qū)?shù)是良定的(welldefined)。(如果有人擔(dān)心這里的“方向”和“方向?qū)?shù)”概念還沒有建立起來，那我可以

5、修改為“沿過p點(diǎn)的任意可微曲線，此函數(shù)在p點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)”。)這兩類東西，作為對應(yīng)映射在一點(diǎn)的線性化，本身就自然帶有線性結(jié)構(gòu)。第一類對象，構(gòu)成了p點(diǎn)的切空間；第二類對象全體，恰好構(gòu)成前者的對偶空間，即余切空間。把各點(diǎn)處對應(yīng)的這些空間聯(lián)系起來看，就給出了切叢和余切叢。回頭來看開頭的表達(dá)式，則左邊的df，其實(shí)就是由f決定的一個“余切元素”(記住，它代表一個等價類)。右邊呢，x^i作為給定的局部坐標(biāo)，也就自然給定了n個坐標(biāo)函數(shù)，這些函數(shù)分別決定了n

6、個余切元素，且構(gòu)成p點(diǎn)處余切空間的一個基底，它們就是dx^i，而df就可以由它們線性表示。巧得很，這樣表達(dá)出來的坐標(biāo)分量，正好是f沿對應(yīng)方向的偏導(dǎo)數(shù)。話說到這里可以結(jié)束了，但我想把有關(guān)的東西進(jìn)一步解釋清楚點(diǎn)。接著原式，如果我們把f“遮”起來不看，則左邊的d表示一個全微分記號，而右邊表示的則是一個求和，其中每一項(xiàng)里都包括一個切向量(ddx^i)和一個余切元素(dx^i)。這樣一個抽象的表達(dá)式，恐怕更讓人困惑，因?yàn)榭雌饋砻恳豁?xiàng)中對應(yīng)的切向量