第3篇 第4講 定積分的概念與微積分基本定理

1、第 4 講 定積分的概念與微積分基本定理 【2014 年高考會這樣考】 1．考查定積分的概念，定積分的幾何意義，微積分基本定理． 2．利用定積分求曲邊形面積、變力做功、變速運動的質點的運動路程 .對應學生47考點梳理 1．定積分 (1)定積分的定義及相關概念 如果函數 f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，用分點 a＝x0<x1<…xi－1<xi<…＜xn＝b，將區(qū)間[a， b]等分成 n 個小區(qū)間， 在每個小區(qū)間[x

2、i－1， xi]上任取一點 ξi(i＝1,2， …，n)，作和式 ?i＝1n f(ξi)Δx＝?i＝1nb－an f(ξi)，當 n→∞時，上述和式無限接近某個常數，這個常數叫做函數 f(x)在區(qū)間[a，b]上的定積分，記作? ?abf(x)dx. 在? ?abf(x)dx 中， a 與 b 分別叫做積分下限與積分上限， 區(qū)間[a， b]叫做積分區(qū)間，f(x)叫做被積函數，x 叫做積分變量，f(x)dx 叫做被積式． (2)定積分的性質

3、 ①? ?abkf(x)dx＝k? ?abf(x)dx(k 為常數)． ②? ?ab[f1(x)± f2(x)]dx＝? ?abf1(x)dx± ? ?abf2(x)dx. ③? ?abf(x)dx＝? ?acf(x)dx＋? ?cbf(x)dx(其中 a<c<b)． 2．微積分基本定理 如果 f(x)是區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數，并且 F′(x)＝f(x)，那么? ?abf(x)dx＝F(b)－F(a)

4、，這個結論叫微積分基本定理，又叫牛頓—萊布尼茲公式． (2)和差的積分等于積分的和差； (3)積分可分段進行． 考點自測 1．下列積分的值等于 1 的是( )． A.? ?01xdx B.? ?01(x＋1)dx C.? ?011 dx D.? ?011 2dx 解析 ? ?01l dx＝x? ? ? 10 ＝1. 答案 C 2．(2011· 福建)? ?01(ex＋2x)dx 等于( )． A．1 B．e－1 C

5、．e D．e＋1 解析 ? ?01(ex＋2x)dx＝ | ?ex＋x2? 10＝(e＋1)－1＝e. 答案 C 3．(2011· 湖南)由直線 x＝－π3，x＝π3，y＝0 與曲線 y＝cos x 所圍成的封閉圖形的面積為( )． A.12 B．1 C. 32 D. 3 解析 S＝∫π3－π3cos xdx＝2∫π30cos xdx＝ | 2sin x π30＝ 3. 答案 D 4． (人教 A 版教材習題改