導數(shù)與微分10

1、1第二講導數(shù)與微分導數(shù)與微分1導數(shù)的概念導數(shù)的概念一、內(nèi)容提要一、內(nèi)容提要1導數(shù)的定義：導數(shù)的定義：00000()()()limlimxxfxxfxyfxxx?????????????(1)幾個等價形式0000()()()limxxfxfxfxxx?????0000()()()limhfxhfxfxh?????0000()()()limxfxxfxfxx?????????(2)存在與.0()fx??00()()fxfx?????(3)函

2、數(shù)在處右連續(xù)且則.0xx?0lim()xxfxA????0()fxA???函數(shù)在處左連續(xù)且則.0xx?0lim()xxfxA????0()fxA???2.2.導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義:曲線在點的切線斜率.0()??fxk()yfx?00(())xfx曲線在點的切線:()yfx?00(())xfx000()()()yfxfxxx????曲線在點的法線:()yfx?00(())xfx0001()()()yfxxxfx?????3.3.導

3、數(shù)的物理意義導數(shù)的物理意義:如果表示物理量則導數(shù)表示該量的變化率.如()yfx?()dyfxdx??設直線運動則時刻的瞬時速度()sft?d()dsvftt???t時刻時的加速度.dvadt?t4.4.可導與連續(xù)的關系可導與連續(xù)的關系函數(shù)在處可導連續(xù)極限存在反之極限存在不一定連續(xù)連續(xù)不一定可導.()fx0x??5微分的定義及性質(zhì)：微分的定義及性質(zhì)：(1)微分的定義:若，則稱函數(shù)在點可微稱為在)(xoxAy?????)(xfy?0xAx?

4、()fx點處的微分，記作，即.當是自變量時.0xdyxAdy??dxx??3其中是時比高階無窮小且在處可導求曲線在點處()x?0x?x()fx1x?()yfx?(6(6))f的切線方程.[分析分析]關鍵:確定切點和切線斜率.因以5為周期故(6(6))f(6)f?()fx(6)(1)?ff所以只需求出即可.(6)(1)???ff(1)(1)ff?例4設有二階連續(xù)導數(shù)，且，()0()00??????????xgxexfxxx()gx(0)1

5、(0)1????gg（1）求；（2）討論的連續(xù)性.()?fx()?fx[注]研究分段函數(shù)可導性（連續(xù)性）時，分段點需特別考慮.一般情形，分段點處的導數(shù)必須用導數(shù)的定義求；若分段點左右兩邊的表達式不同時，要按定義求左、右導數(shù).1.21.2函數(shù)的微分函數(shù)的微分例1單項選擇題單項選擇題(1)設函數(shù)滿足:.若則()(A)()yfx?()0()0fxfx?????0x??(A)(B)(C)(D)0dyy???0ydy???0ydy???0dyy?

6、??(2)設函數(shù)可導當自變量在處取得增量時相應函數(shù)增量的()fu2()yfx?x1x??0.1x???y?線性主部為則().(D)0.1(1)f??(A)(B)(C)(D)1?0.110.5例2設滿足，并且，對任意兩點有，()fx(0)fa??xy()()()14()()fxfyfxyfxfy????求證：（1），（2）f(x)可微；（3）求.(0)0f?)(xf22導數(shù)的計算導數(shù)的計算一、內(nèi)容與知識要點一、內(nèi)容與知識要點1.1.基本導