專題——定積分及其應(yīng)用

1、1專題專題——定積分及其分及其應(yīng)用5.1定積分的概念與性分的概念與性質(zhì)定積分無論在理論上還是實(shí)際應(yīng)用上，都有著十分重要的意義，它是整個(gè)高等數(shù)學(xué)最重要的內(nèi)容之一.5.1.1實(shí)例分析1.曲邊梯形的面積在初等數(shù)學(xué)中我們已經(jīng)學(xué)會(huì)計(jì)算多邊形和圓的面積至于任意曲邊所圍成的平面圖形的面積只有依賴于曲邊梯形并利用極限的方法才能得到比較完滿的解決.所謂曲邊梯形就是在直角坐標(biāo)系中由直線及曲線0???ybxax所圍成的圖形，如圖5.1(a)(b)(c)都是曲

2、邊梯形.)(xfy?現(xiàn)在求時(shí)，在連續(xù)區(qū)間上圍成的曲邊梯形的面積A（如圖5.1(a)0)(?xf][ba(b)所示），用以往的知識(shí)沒有辦法解決.為了求得它的面積，我們按下述步驟來計(jì)算：(1)分割——將曲邊梯形分割成小曲邊梯形在區(qū)間內(nèi)任意插入個(gè)分點(diǎn)：，把][ba1?nbxxxxxann???????????1210區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間：，第個(gè)小區(qū)間的][ban][][][][112110nniixxxxxxxx????i長度為，過每個(gè)分點(diǎn)作垂直

3、于軸的直線段，它們把曲邊)1(1nixxxiii????????x梯形分成個(gè)小曲邊梯形（圖5.2），小曲邊梯形的面積記為.n)21(niAi?????aoxaobxyaobxbyy(a)(b)(c)圖5.13(1)分割——把整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間分成個(gè)時(shí)間段n在時(shí)間間隔內(nèi)任意插入個(gè)分點(diǎn)：，][21TT1?n21101TttttTnn??????????把分成個(gè)小區(qū)間：，第個(gè)小區(qū)間的長度][21TTn][][][][112110nniitttttt

4、tt????????i為第個(gè)時(shí)間段內(nèi)對(duì)應(yīng)的路程記作.)21(1nitttiii????????i)21(niSi?????(2)近似——在每個(gè)小區(qū)間上以勻速直線運(yùn)動(dòng)的路程近似代替變速直線運(yùn)動(dòng)的路程在小區(qū)間上任取一點(diǎn)用速度近似代替物體在時(shí)間][1iitt?)21(nii?????)(iv?上各個(gè)時(shí)刻的速度，則有][1iitt?.)21()(nitvSiii????????(3)求和——求個(gè)小時(shí)間段路程之和n將所有這些近似值求和，得到總路程

5、的近似值，即nSSSS??????????21nitvtvtv??????????)()()(2211???.iniitv????)(1?(4)取極限令，當(dāng)分點(diǎn)的個(gè)數(shù)無限增多且時(shí)，和式的極??init????1max?n0??iniitv???)(1?限便是所求的路程.即SiniitvS?????)(lim10??從上面兩個(gè)實(shí)例可以看出，雖然二者的實(shí)際意義不同，但是解決問題的方法卻是相同的，即采用“分割近似求和取極限”的方法，最后都?xì)w結(jié)