定積分應(yīng)用歷年真題集錦

1、定積分的應(yīng)用（一）平面圖形的面積定積分的應(yīng)用（一）平面圖形的面積1求曲求曲線(xiàn)與直與直線(xiàn)所圍成的平面成的平面圖形的面形的面積.（1990年）年）2yx?2yx??【解答解答】2219[(2)]2Sxxdx??????2已知曲已知曲線(xiàn)與在點(diǎn)在點(diǎn)處有公共切有公共切線(xiàn)如圖，（1）yax?0a?lnyx?00()xy求的值與切點(diǎn)坐與切點(diǎn)坐標(biāo)；（；（2）兩曲）兩曲線(xiàn)與軸所圍成的平面成的平面圖形的面形的面積axS.(1994年)【解答解答】在該點(diǎn)既相

2、交又相切（點(diǎn)既相交又相切（縱坐標(biāo)相等；斜率相等）相等；斜率相等）(1)由題意知意知得.00000ln()(ln)xxxxaxxyaxx????????????0001122axxx?A解得解得即有即有，切點(diǎn)，切點(diǎn)為；0011lnaxx??1ae??(1)e（2）選取作為積為積分變量，量，則有.y2122201()62yeSeeydy?????3在曲在曲線(xiàn)上某點(diǎn)上某點(diǎn)A作一切作一切線(xiàn)，使之與曲，使之與曲線(xiàn)以及以及軸所圍20yxx??x成的

3、平面成的平面圖形的面形的面積為積為試求（求（1）切點(diǎn)坐）切點(diǎn)坐標(biāo)；（；（2）過(guò)切點(diǎn)切點(diǎn)A的切的切線(xiàn)方112程.（1988年）年）【解答解答】切點(diǎn)坐切點(diǎn)坐標(biāo)為標(biāo)為（1，1），切），切線(xiàn)方程方程為21.yx??4設(shè)曲線(xiàn)與兩坐與兩坐標(biāo)軸標(biāo)軸所圍成的平面區(qū)域被曲成的平面區(qū)域被曲21:101Lyxx????線(xiàn)分為面積相等的兩部分，其中相等的兩部分，其中為大于零的常數(shù)，大于零的常數(shù)，試確22:Lyax?a定常數(shù)定常數(shù)的值.（1991年）年）a【解答

4、解答】，則有122110(1)aSxaxdx?????12120(1)SxdxSS?????222(1)331Saa?????7.設(shè)曲線(xiàn)極坐極坐標(biāo)方程方程為，則該則該曲線(xiàn)上相上相應(yīng)于從0變到(0)aea?????的一段弧與極的一段弧與極軸所圍成的成的圖形的面形的面積為積為.2?41(1)4aea??（2003年數(shù)學(xué)二填空）年數(shù)學(xué)二填空）【分析分析】在極坐在極坐標(biāo)系下，由曲系下，由曲線(xiàn)，直，直線(xiàn)及所圍成的平成的平()rr????????面

5、圖形的面形的面積為積為，于是有，于是有.21()2rd?????2201()2aAed?????22012aed?????8（位于曲位于曲線(xiàn)下方，下方，軸上方的無(wú)界上方的無(wú)界圖形的面形的面積(0)xyxex??????x是1.（2002年數(shù)學(xué)二填空）年數(shù)學(xué)二填空）【分析分析】這是無(wú)是無(wú)窮區(qū)間上的廣上的廣義積義積分的幾何分的幾何應(yīng)用題，所求面，所求面積用廣用廣義積義積分表示分表示為；本；本題難題難度值為值為0.80，區(qū)分度，區(qū)分度為0.4

6、5，屬于第，屬于第V0xxedx????類(lèi)試題類(lèi)試題.9(2001年數(shù)學(xué)二年數(shù)學(xué)二)設(shè)L是一條平面曲是一條平面曲線(xiàn)其上任意一點(diǎn)其上任意一點(diǎn)到()(0)Pxyx?坐標(biāo)原點(diǎn)的距離原點(diǎn)的距離恒等于恒等于該點(diǎn)處的切的切線(xiàn)在軸上的截距上的截距且L過(guò)點(diǎn).y1(0)2(1)求曲求曲線(xiàn)L的方程的方程(2)求L位于第一象限部分的一條切位于第一象限部分的一條切線(xiàn)使該切線(xiàn)與L以及兩坐以及兩坐標(biāo)軸標(biāo)軸所圍圖圍圖形的面形的面積最小最小.【分析分析】第一第一問(wèn)顯問(wèn)

7、顯然是解微分方程的定解然是解微分方程的定解問(wèn)題問(wèn)題其中關(guān)其中關(guān)鍵是列出微分方是列出微分方程第二第二問(wèn)是最是最值問(wèn)題值問(wèn)題關(guān)鍵是寫(xiě)出是寫(xiě)出圖形面形面積的表達(dá)式的表達(dá)式.22xyyxy????本題得分率得分率較低一個(gè)主要的一個(gè)主要的錯(cuò)誤錯(cuò)誤是對(duì)截距的理解截距的理解寫(xiě)成了寫(xiě)成了這樣這樣yxy??往下就不好做了往下就不好做了.本題難題難度值為值為0.35區(qū)分度區(qū)分度為0.55屬于屬于V類(lèi).10設(shè)S表示表示夾在x軸與曲與曲線(xiàn)之間的面的面積對(duì)220