分形幾何

1、分形幾何分形幾何普通幾何學(xué)研究的對(duì)象，一般都具有整數(shù)的維數(shù)。比如，零維的點(diǎn)、一維的線、二維的面、三維的立體、乃至四維的時(shí)空。最近十幾年的，產(chǎn)生了新興的分形幾何學(xué)，空間具有不一定是整數(shù)的維，而存在一個(gè)分?jǐn)?shù)維數(shù)，這是幾何學(xué)的新突破，引起了數(shù)學(xué)家和自然科學(xué)者的極大關(guān)注。分形幾何的產(chǎn)生客觀自然界中許多事物，具有自相似的“層次”結(jié)構(gòu)，在理想情況下，甚至具有無(wú)窮層次。適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小幾何尺寸，整個(gè)結(jié)構(gòu)并不改變。不少?gòu)?fù)雜的物理現(xiàn)象，背后就是反映著這類

2、層次結(jié)構(gòu)的分形幾何學(xué)?？陀^事物有它自己的特征長(zhǎng)度，要用恰當(dāng)?shù)某叨热y(cè)量。用尺來(lái)測(cè)量萬(wàn)里長(zhǎng)城，嫌太短；用尺來(lái)測(cè)量大腸桿菌，又嫌太長(zhǎng)。從而產(chǎn)生了特征長(zhǎng)度。還有的事物沒(méi)有特征尺度，就必須同時(shí)考慮從小到大的許許多多尺度（或者叫標(biāo)度），這叫做“無(wú)標(biāo)度性”的問(wèn)題。如物理學(xué)中的湍流，湍流是自然界中普遍現(xiàn)象，小至靜室中繚繞的輕煙，巨至木星大氣中的渦流，都是十分紊亂的流體運(yùn)動(dòng)。流體宏觀運(yùn)動(dòng)的能量，經(jīng)過(guò)大、中、小、微等許許多度尺度上的漩渦，最后轉(zhuǎn)化成分子尺

3、度上的熱運(yùn)動(dòng)，同時(shí)涉及大量不同尺度上的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，就要借助“無(wú)標(biāo)度性”解決問(wèn)題，湍流中高漩渦區(qū)域，就需要用分形幾何學(xué)。電子計(jì)算機(jī)圖形顯示協(xié)助了人們推開分形幾何的大門。這座具有無(wú)窮層次結(jié)構(gòu)的宏偉建筑，每一個(gè)角落里都存在無(wú)限嵌套的迷宮和回廊，促使數(shù)學(xué)家和科學(xué)家深入研究。法國(guó)數(shù)學(xué)家曼德爾勃羅特這位計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)兼通的人物，對(duì)分形幾何產(chǎn)生了重大的推動(dòng)作用。他在1975、1977和1982年先后用法文和英文出版了三本書，特別是《分形——形、機(jī)遇和維數(shù)

4、》以及《自然界中的分形幾何學(xué)》，開創(chuàng)了新的數(shù)學(xué)分支——分形幾何學(xué)。分形幾何的內(nèi)容分形幾何學(xué)的基本思想是：客觀事物具有自相似的層次結(jié)構(gòu)，局部與整體在形態(tài)、功能、信息、時(shí)間、空間等方面具有統(tǒng)計(jì)意義上的相似性，成為自相似性。例如，一塊磁鐵中的每一部分都像整體一樣具有南北兩極，不斷分割下去，每一部分都具有和整體磁鐵相同的磁場(chǎng)。這種自相似的層次結(jié)構(gòu)，適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小幾何尺寸，整個(gè)結(jié)構(gòu)不變。維數(shù)是幾何對(duì)象的一個(gè)重要特征量，它是幾何對(duì)象中一個(gè)點(diǎn)的位置