2023年全國(guó)碩士研究生考試考研英語(yǔ)一試題真題(含答案詳解+作文范文)_第1頁(yè)
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1、第七節(jié) 理想流體的旋渦運(yùn)動(dòng),如流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度ω≠0,則是有旋運(yùn)動(dòng),也稱為旋渦運(yùn)動(dòng)。 理想流體的流動(dòng)可以是有勢(shì)的,也可以是有旋的。但粘性流體的流動(dòng)一般是有旋的。 第七-十節(jié)講述理想不可壓縮流體的旋渦運(yùn)動(dòng),涉及的基本概念及定理有:渦線、渦管和渦束;渦通量和速度環(huán)量;斯托克斯定理;湯姆遜定理;亥姆霍茲定理;畢奧-沙伐爾公式;卡門渦街。,一、渦線、渦管和渦束 1. 渦 線定義:渦線是旋渦場(chǎng)中一條曲線,曲線上各點(diǎn)處的旋轉(zhuǎn)角速度

2、矢量都與這一曲線相切。渦線的微分方程:,,,,2. 渦 管定義:在旋渦場(chǎng)中取一非渦線的閉曲線,通過(guò)這一閉曲線上每點(diǎn)作渦線,這些渦線形成了一封閉管狀曲面,稱為渦管。與渦管垂直的斷面稱為渦管斷面。微小斷面的渦管稱為微元渦管。,3. 渦 束,渦管內(nèi)充滿著作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的流體稱為渦束,微元渦管里的渦束稱為微元渦束。,表征速度場(chǎng)和旋渦場(chǎng)的常用概念,渦通量J (旋渦強(qiáng)度)微元渦管內(nèi)的渦通量:,二、渦通量和速度環(huán)量,如果把旋轉(zhuǎn)角速度比擬

3、成速度,通過(guò)曲面的渦通量與通過(guò)一曲面的流量相類似。,,非渦管斷面,通過(guò)任一有限曲面的渦通量為:,2. 速度環(huán)量Γ 定義:某一瞬時(shí)在流場(chǎng)中取任意封閉曲線,在曲線上取一微元線段 ,速度 在 的切線上的分量沿閉曲線的線積分,即為沿該閉曲線的速度環(huán)量。,一、斯托克斯定理,第八節(jié) 理想流體旋渦運(yùn)動(dòng) 的基本定理,斯托克斯(Stokes)定理: 沿封閉曲線的速度環(huán)量等于該封閉曲線內(nèi)所有渦通量的和。,該定理將速度場(chǎng)和旋渦場(chǎng)之

4、間聯(lián)系起來(lái)。,,,,,,證明:,先證明微元封閉曲線的斯托克斯定理。,證明了微元封閉曲線的斯托克斯定理,即沿微元封閉曲線的速度環(huán)量等于通過(guò)該曲線所包圍的面積的渦通量。,再證明此定理適用于有限大封閉曲線所包圍的單連通域。,,可將斯托克斯定理推廣至空間單連通區(qū)域。,對(duì)于復(fù)連通區(qū)域,需要做一些變換。,因?yàn)?得到,由斯托克斯定理,有,復(fù)連通區(qū)域的斯托克斯定理可以描述為:通過(guò)復(fù)連通域的渦通量等于沿這個(gè)區(qū)域的外周線的速度環(huán)量與所有內(nèi)周線的速度環(huán)量總和

5、之差。,例 試證明均勻流的速度環(huán)量等于零。,證明:,流體以等速度v∞水平方向流動(dòng),首先求沿矩形封閉曲線的速度環(huán)量,其次求圓周線的速度環(huán)量,同樣可以證明均勻流沿任何其它形狀的封閉曲線的速度環(huán)量等于零。,二、湯姆遜定理和亥姆霍茲定理,流體線:在流場(chǎng)中任意指定的一段線,該線段在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終是由同樣的流體質(zhì)點(diǎn)所組成。,研究旋渦的隨體變化規(guī)律的途徑,,,直接研究渦通量的隨體變化規(guī)律,先直接研究速度環(huán)量的隨體變化規(guī)律,然后由斯托克斯定理求出

6、渦通量的隨體變化規(guī)律,,stokes,√,1、湯姆遜(Thomson)定理,正壓的理想流體在有勢(shì)質(zhì)量力的作用下沿任何封閉流體線的速度環(huán)量不隨時(shí)間變化, 即 。,證明:,流線體,Ⅰ,Ⅱ,Ⅰ式積分為:,理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程為:,Ⅱ式積分:,,質(zhì)量力有勢(shì),因此,正壓流體,定義壓力函數(shù),有,因?yàn)関、W、P均是時(shí)間空間坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù),速度環(huán)量是常數(shù),就證明了湯姆遜定理。,湯姆遜定理得出結(jié)論:對(duì)于理想的正壓

7、流體,在有勢(shì)質(zhì)量力作用下,旋渦不生不滅。,湯姆遜定理的應(yīng)用——平面翼型起動(dòng)渦的問(wèn)題。,1) 亥姆霍茲第一定理 在同一時(shí)刻,通過(guò)渦管任意斷面的渦通量相同。,,,,2、亥姆霍茲(Helmholtz)定理,包括了三個(gè)基本定理,說(shuō)明了旋渦的基本性質(zhì)。,證明:,,在渦管表面形成一空間封閉曲線ABB’A’A,因?yàn)?所以,說(shuō)明沿包圍渦管任一斷面封閉曲線的速度環(huán)量等于零。再由斯托克斯定理,這些速度環(huán)量都等于穿過(guò)這些封閉曲線所包圍的斷面的渦通量,因

8、此,渦管各斷面上的渦通量都相同,即,亥姆霍茲第一定理說(shuō)明渦管在流體中既不能開(kāi)始,也不能終止。,,渦管在流體中存在的形式:,a. 首尾相連,形成封閉的渦環(huán)或渦圈;,b. 兩端可以終止于邊壁上(固體壁面或自由面),2)亥姆霍茲第二定理 正壓的理想流體在有勢(shì)質(zhì)量力作用下,組成渦管的流體質(zhì)點(diǎn)將始終組成渦管(渦管永遠(yuǎn)保持為由相同流體質(zhì)點(diǎn)所組成)。,,沿這一閉曲線為邊界的曲面的渦通量也將為0,表明這一曲面仍然是渦管表面的一部分,即構(gòu)成渦管表面

9、的流體質(zhì)點(diǎn)始終構(gòu)成渦管表面。,證明:,在圖中的渦管表面取一閉曲線K,沿曲線K的速度環(huán)量為0。,由湯姆遜定理,相同流體質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的封閉曲線的環(huán)量不變化,仍然是0。,3)亥姆霍茲第三定理:,正壓的理想流體在有勢(shì)質(zhì)量力作用下,渦管強(qiáng)度不隨時(shí)間而變化。,,證明:,作任意封閉曲線L包圍渦管,根據(jù)斯托克斯定理,沿曲線L的速度環(huán)量等于通過(guò)該曲線所圍面積的渦通量。,根據(jù)湯姆遜定理,速度環(huán)量不隨時(shí)間變化,因此,渦管的旋渦強(qiáng)度不隨時(shí)間變化。,結(jié)論:,湯姆遜

10、定理和亥姆霍茲三個(gè)定理完整地描述了旋渦運(yùn)動(dòng)規(guī)律:正壓理想流體在有勢(shì)質(zhì)量力作用下,組成渦線和渦管的流體始終組成渦線和渦管,在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,渦管強(qiáng)度保持不變。,應(yīng)注意:上述運(yùn)動(dòng)規(guī)律的適應(yīng)性以及實(shí)際流體的運(yùn)動(dòng)情況。,第九節(jié) 旋渦的誘導(dǎo)速度,背景:旋渦集中于一條曲線附近的區(qū)域,該區(qū)域以外流場(chǎng)是無(wú)旋的,可認(rèn)為旋渦集中分布在斷面積為A的渦管內(nèi),渦管外形成誘導(dǎo)速度場(chǎng)。,計(jì)算誘導(dǎo)速度借用電磁場(chǎng)的比奧-沙伐爾公式:,,,磁場(chǎng)強(qiáng)度,電流強(qiáng)度,強(qiáng)度為Γ的任意形

11、狀渦束對(duì)于任意點(diǎn)P的誘導(dǎo)速度為:,速度方向由右手法則確定。,長(zhǎng)度為l的任意形狀渦束對(duì)于任意點(diǎn)P的誘導(dǎo)速度為:,,點(diǎn)P到dl的距離,一、直線渦束的誘導(dǎo)速度,直線渦束AB在P點(diǎn)產(chǎn)生的誘導(dǎo)速度為:,半無(wú)限長(zhǎng)渦束:,無(wú)限長(zhǎng)渦束:,二、平面渦層的誘導(dǎo)速度,在無(wú)限流場(chǎng)中布置一渦列,這一渦列由多個(gè)無(wú)限長(zhǎng)渦束無(wú)間隔地直線排列而成,稱為渦層。,設(shè)單位長(zhǎng)度的旋渦密度為γ(x’),則dx’上的渦通量為:,微段dx’上的渦通量dΓ對(duì)P點(diǎn)的誘導(dǎo)速度為:,在整個(gè)

12、渦層AB上積分可得點(diǎn)P的誘導(dǎo)速度為:,若γ(x’)為定值,且渦層沿x軸伸展到±∞,則P的誘導(dǎo)速度為:,實(shí)際流體繞流一靜止圓柱時(shí),流體在圓柱體表面分離后,將形成旋轉(zhuǎn)方向相反的排列規(guī)則的兩列旋渦流向下游,形成卡門渦街。,第十節(jié) 卡門渦街,,,,,,駐點(diǎn),,分離點(diǎn),,第十一節(jié) 空間勢(shì)流,一、空間勢(shì)流的勢(shì)函數(shù),二、軸對(duì)稱流動(dòng)的流函數(shù),四、圓球繞流,五、軸對(duì)稱體繞流,三、幾個(gè)基本軸對(duì)稱流動(dòng)的流函數(shù),一、空間勢(shì)流的勢(shì)函數(shù),勢(shì)函數(shù)Φ與速度之

13、間的關(guān)系式為:,將上述等式代入不可壓縮流體的連續(xù)性方程:,得到勢(shì)函數(shù)的拉普拉斯方程:,邊界條件:物面上無(wú)窮遠(yuǎn)處,1、空間均勻流,建立直角坐標(biāo)系(x, y, z),設(shè)無(wú)窮遠(yuǎn)來(lái)流速度v∞與z軸平行,則速度分量為:,勢(shì)函數(shù)為:,如換成柱坐標(biāo)系(r, θ, z)和球坐標(biāo)系(R,θ,β) ,則,x=rcosφ   y=rsinφ z=z,柱坐標(biāo)系(r,θ,z)與直角坐標(biāo)系(x,y,z)的轉(zhuǎn)換關(guān)系:,球坐標(biāo)系(R,θ,β)與

14、直角坐標(biāo)系(x,y,z)的轉(zhuǎn)換關(guān)系:   x=Rsinθcosβ y=Rsinθsinβ z=Rcosθ,2、空間點(diǎn)源(點(diǎn)匯),建立球坐標(biāo)系(R,θ,β) ,在坐標(biāo)原點(diǎn)處放置一個(gè)空間點(diǎn)源(點(diǎn)匯),流量為q,則速度分量為:,由于球坐標(biāo)系下勢(shì)函數(shù)Φ的梯度公式為:,,,,對(duì)應(yīng)方向的單位矢量,得到,因此,,3、空間偶極子,依據(jù)勢(shì)流疊加原理,P點(diǎn)處的勢(shì)函數(shù)為,滿足下面關(guān)系式才能構(gòu)成偶極子流,即,M為常數(shù),稱為偶極子的強(qiáng)度或偶極

15、矩,偶極子的勢(shì)函數(shù)為:,二、軸對(duì)稱流動(dòng)的流函數(shù),軸對(duì)稱流動(dòng):指流體在過(guò)某空間固定軸的所有平面上的運(yùn)動(dòng)情況完全相同的流動(dòng)。因此,只需要研究其中一個(gè)平面上的流動(dòng)就可以知道整個(gè)空間內(nèi)流體的運(yùn)動(dòng)情況。常見(jiàn)的軸對(duì)稱流動(dòng)有:圓管流動(dòng)、沿軸向流經(jīng)回轉(zhuǎn)體的流動(dòng)、水輪機(jī)葉輪內(nèi)的流動(dòng)。,1、柱坐標(biāo)系(r, θ, z)的流函數(shù)Ψ (r, z),柱坐標(biāo)系中,不可壓縮流體軸對(duì)稱流動(dòng)的連續(xù)性方程為:,定義流函數(shù)Ψ (r, z),滿足,,2、球坐標(biāo)系(R,θ,β

16、)的流函數(shù)Ψ (R,θ),球坐標(biāo)系中,不可壓縮流體軸對(duì)稱流動(dòng)的連續(xù)性方程為:,定義流函數(shù)Ψ (r, z),滿足,,3、流函數(shù)的性質(zhì),1)等流函數(shù)線就是流線;,2)在通過(guò)包含對(duì)稱軸線的流動(dòng)平面上,任意兩點(diǎn)的流函數(shù)值之差的2π倍,等于通過(guò)這兩點(diǎn)間的任意連線的回轉(zhuǎn)面的流量。,證明:,通過(guò)回轉(zhuǎn)面的流量為,因?yàn)?所以,三、幾個(gè)基本軸對(duì)稱流動(dòng)的流函數(shù),1、均勻流,有一速度為v∞的空間均勻流,取z軸為流動(dòng)方向,在球坐標(biāo)系(R,θ,β)中為一軸對(duì)稱流動(dòng)

17、,流動(dòng)參數(shù)與β無(wú)關(guān)。,式對(duì)R積分,得到,將上式對(duì)θ求導(dǎo),得到,與②式比較,得到 ,即,①,②,①,令 ,最終空間均勻流的勢(shì)函數(shù)為,2、空間點(diǎn)源(點(diǎn)匯),設(shè)在坐標(biāo)原點(diǎn)有一點(diǎn)源,強(qiáng)度為q??臻g點(diǎn)P (R,θ,β)的速度矢量為,積分得到,3、空間偶極子,空間偶極子的勢(shì)函數(shù)為,積分得到,四、圓球繞流,奇點(diǎn)法:將簡(jiǎn)單勢(shì)流如均勻流、點(diǎn)源(匯)、偶極子等進(jìn)行疊加,對(duì)較復(fù)雜的勢(shì)流問(wèn)題進(jìn)行求解的方法。,零流線方程為:,,球面

18、方程,球面的半徑,偶極子的強(qiáng)度,因此,流函數(shù)為,勢(shì)函數(shù)為,流場(chǎng)中速度分布為,球面上(R=a)的速度分布為,當(dāng)θ=0,π時(shí),vR=0, vθ=0,即A、B兩點(diǎn)為駐點(diǎn)。,圓球繞流的表面速度的最大值,圓柱繞流的表面速度的最大值,球面壓強(qiáng)分布,由伯努利方程求出,壓強(qiáng)系數(shù),壓強(qiáng)對(duì)稱分布,因此球面所受的合力為零。,五、軸對(duì)稱體(回轉(zhuǎn)體)繞流,依然采用奇點(diǎn)法分析,需要尋找適當(dāng)?shù)幕緞?shì)流,使之與均勻流疊加后的勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)能滿足物面和無(wú)窮遠(yuǎn)處的邊界條件

19、。,建立柱坐標(biāo)系(r,θ,z),流動(dòng)參數(shù)與無(wú)關(guān)。在對(duì)稱軸的OA段上連續(xù)布置源(匯),設(shè)單位長(zhǎng)度上的源(匯)強(qiáng)度為q(ζ),則微元段dζ的強(qiáng)度為,,q>0,表示源q<0,表示匯,微元段dζ的源(匯)在P點(diǎn)處的勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)分別為,整個(gè)OA段的源(匯)在P點(diǎn)處的勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)分別為,均勻流在P點(diǎn)處的勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)分別為,勢(shì)流疊加后的流場(chǎng)的勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)分別為,現(xiàn)需要確定q(ζ)使得上述函數(shù)滿足物面和無(wú)窮遠(yuǎn)處的兩個(gè)邊界條件。其

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