概率論1-1

1、,,,,,◆,一場(chǎng)精彩的足球賽將要舉行，5個(gè)球迷好不容易才搞到一張入場(chǎng)券.以抽簽的方式?jīng)Q定入場(chǎng)券的歸屬.,◆,先抽還是后抽？,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),主講人：魯慧芳,,全校文理科各專業(yè)必修的公共基礎(chǔ)課,,,,,,彩票中獎(jiǎng)的概率比賽獲勝的概率某人患某種疾病的概率,緒論,概率的起源概率的研究?jī)?nèi)容,概率的起源,很早以前，人們就會(huì)用抽簽、抓鬮的方法解決彼此間的爭(zhēng)端，這可能是概率最早的應(yīng)用。,而真正的概率論出現(xiàn)在15世紀(jì)之后

2、，當(dāng)時(shí)的保險(xiǎn)業(yè)已在歐洲蓬勃發(fā)展起來，保險(xiǎn)業(yè)的發(fā)展渴望能有指導(dǎo)保險(xiǎn)的計(jì)算工具的出現(xiàn)。,這一渴望戲劇性地因15 世紀(jì)末賭博現(xiàn)象的大量出現(xiàn)而得到解決。 1654年，有一個(gè)法國(guó)賭徒梅勒遇到了一個(gè)難解的問題：梅勒和他的一個(gè)朋友每人出30個(gè)金幣，兩人誰先贏滿3局誰就得到全部賭注。在游戲進(jìn)行了一會(huì)兒后，梅勒贏了2局，他的朋友贏了1局。這時(shí)候，梅勒由于一個(gè)緊急事情必須離開，游戲不得不停止。他們?cè)撊绾畏峙滟€桌上的60 個(gè)金幣的賭注呢？,賭本究

3、竟如何分配才合理呢？ 梅勒把這個(gè)問題告訴了當(dāng)時(shí)法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家帕斯卡，這居然也難住了帕斯卡。帕斯卡又寫信告訴了另一個(gè)著名的數(shù)學(xué)家費(fèi)馬，于是在這兩位偉大的法國(guó)數(shù)學(xué)家之間開始了具有劃時(shí)代意義的通信，在通信中，他們最終正確地解決了這個(gè)問題。 三年后，也就是1657年，荷蘭著名的天文、物理兼數(shù)學(xué)家惠更斯把這一問題置于更復(fù)雜的情形下，總結(jié)出更一般的規(guī)律，寫成了《論擲骰子游戲中的計(jì)算》一書，這就是最早的概率論著作。,帕斯卡

4、 費(fèi)馬 惠更斯,研究?jī)?nèi)容,個(gè)別現(xiàn)象：原則上不能在相同的條件下重復(fù) 試驗(yàn)或觀察的現(xiàn)象。如：某人某年某月某日出生 某天是晴天還是雨天隨機(jī)現(xiàn)象：可大量重復(fù)試驗(yàn)，結(jié)果呈現(xiàn)規(guī)律 性的現(xiàn)象。如：同一個(gè)工人在同一臺(tái)機(jī)床上生產(chǎn)零件 同一個(gè)人擲同一枚硬幣,統(tǒng)計(jì)規(guī)律性：隨機(jī)現(xiàn)象在大量重復(fù)試驗(yàn)中呈 現(xiàn)出來的穩(wěn)定性或固有規(guī)律性。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)研

5、究的主要問題就是隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。,第一章 隨機(jī)事件及概率,第一節(jié) 隨機(jī)事件,第二節(jié) 隨機(jī)事件的概率,第三節(jié) 古典概率,第四節(jié) 條件概率,,第五節(jié) 事件的獨(dú)立性,第六節(jié) 獨(dú)立試驗(yàn)序列,第一節(jié) 隨機(jī)事件,一、隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間,二、隨機(jī)事件,三、事件間的關(guān)系與運(yùn)算,試驗(yàn)：科學(xué)試驗(yàn)及對(duì)事物某一特征的觀察。 記為,科學(xué)試驗(yàn),例：,一、隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間,觀察,1．試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且能事先明確

6、試驗(yàn)的所有可能結(jié)果；,2．進(jìn)行試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)。,－可重復(fù)的隨機(jī)試驗(yàn) 否則稱為不可重復(fù)的隨機(jī)試驗(yàn)．（注：本書只研究前者，簡(jiǎn)稱隨機(jī)試驗(yàn)或試驗(yàn)）,,,,特點(diǎn)：,－隨機(jī)試驗(yàn)（試驗(yàn)）,3．可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行,隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果組成的集合．,樣本空間,0次,2次,,◆1.擲骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)E 樣本空間 當(dāng)我們下賭注買大的時(shí)候，我們關(guān)心的不是樣本空間，而是擲的點(diǎn)數(shù)是否為

7、大，即點(diǎn)數(shù)為大的樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合：,二、隨機(jī)事件,稱A為隨機(jī)試驗(yàn)E的一個(gè)隨機(jī)事件。,規(guī)定電視機(jī)的壽命超過10000小時(shí)為合格品,滿足這一條件的樣本點(diǎn)組成一個(gè)集合,◆,稱B為隨機(jī)試驗(yàn)E6的一個(gè)隨機(jī)事件。,注：事件 是集合表示，也可用文字?jǐn)⑹龇绞浇o出其含義: A：點(diǎn)數(shù)為大 B：電視機(jī)為合格產(chǎn)品（壽命大于10000小時(shí)）,隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間 的子集,稱為E 的隨機(jī)事件(事件)，記為A,B,C,…,2.發(fā)生：　　設(shè)A是一

8、事件，當(dāng)且僅當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果中出　　　現(xiàn)的樣本點(diǎn) 時(shí)，稱事件A在該　　　　試驗(yàn)中發(fā)生。例: (1)擲骰子試驗(yàn)中， A={出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)}={1，3，5} B ={點(diǎn)數(shù)不小于5} ={5,6} 若試驗(yàn)結(jié)果為3點(diǎn)，顯然 因此A在試驗(yàn)中發(fā)生了，而B未發(fā)生。,(2)測(cè)試電視機(jī)壽命的試驗(yàn)中， B={電視機(jī)為合格產(chǎn)品}=　若測(cè)出電視機(jī)壽命為10001小時(shí)，　　　　　　　

9、　所以事件B發(fā)生。 而若測(cè)出電視機(jī)壽命為9999小時(shí)，則 所以事件B未發(fā)生。注：只有當(dāng)試驗(yàn)做了以后才知道結(jié)果，從而才可以判斷事件是否發(fā)生。,3.分類,隨機(jī)試驗(yàn)E1有兩個(gè)基本事件{H}和{T},隨機(jī)試驗(yàn)E3有三個(gè)基本事件{0} 、{1}和{2},基本事件 ：由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集,必然事件：無論出現(xiàn)何種試驗(yàn)結(jié)果，事件A都發(fā)生.即試驗(yàn)結(jié)果中任意樣本點(diǎn) .,不可能事件：,一般事件：,注：,如：擲2

10、枚骰子，事件｛點(diǎn)數(shù)之和<13｝,③ 事件的性質(zhì)隨條件改變而改變。,擲3枚骰子，事件｛點(diǎn)數(shù)之和<13｝,擲13枚骰子，事件｛點(diǎn)數(shù)之和<13｝,① 是隨機(jī)事件的兩個(gè)極端情況,② 的反面是 ，反之亦然。,4.表示：,,,隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間,三、事件間的關(guān)系,研究原因：,希望通過對(duì)簡(jiǎn)單事件的了解掌握較復(fù)雜的事件,研究規(guī)則：,事件間的關(guān)系和運(yùn)算應(yīng)該按照集合之間的關(guān)系和運(yùn)算來規(guī)定,子事件和事件積事件差事件

11、互斥（互不相容）對(duì)立事件（逆事件）,1.子事件（包含）,,,,,,,2.和事件,,,,3.積事件,,,,,某輸油管長(zhǎng)100km，,4.差事件,,,,5.互斥(互不相容),,,,6.對(duì)立事件（逆事件）,,,,7、互不相容的完備事件組:,,,,完備事件組,或劃分,四、事件的運(yùn)算規(guī)律,4.對(duì)偶律,注：這些運(yùn)算規(guī)律可以推廣到任意多個(gè)事件上去,1.交換律,2.結(jié)合律,3.分配律,例1：擲一顆骰子，觀察點(diǎn)數(shù) A={奇數(shù)點(diǎn)}，B={點(diǎn)數(shù)小于5}

12、,C={小于5的偶數(shù)點(diǎn)}，用集合列舉法表示下列事件：解：,（1）{A與B發(fā)生而C不發(fā)生}：,例2 設(shè)A,B,C是隨機(jī)事件，表示下列事件：,（2）{A，B，C恰有一個(gè)發(fā)生}：,（3）{A，B，C恰有兩個(gè)發(fā)生}：,（4）{A，B，C至少有兩個(gè)發(fā)生}：,（5）{A，B，C有不多于兩個(gè)發(fā)生}：,例3 一射手連續(xù)向某目標(biāo)射擊3次， 事件Ai：第i次擊中目標(biāo)(i=1,2,3)，試用文字?jǐn)⑹鱿铝惺录航猓?例4 某城市的供水系統(tǒng)由甲