§3.6馬爾可夫預(yù)測(cè)方法-geocomputation,gis

1、第七節(jié) 馬爾可夫預(yù)測(cè)方法,本節(jié)主要內(nèi)容：,幾個(gè)基本概念 狀態(tài)； 狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程； 馬爾科夫過程； 狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率； 狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。 馬爾可夫預(yù)測(cè)法 狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率； 狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。,對(duì)事件的全面預(yù)測(cè)，不僅要能夠指出事件發(fā)生的各種可能結(jié)果，而且還必須給出每一種結(jié)果出現(xiàn)的概率。,馬爾可夫（Markov）預(yù)測(cè)法，就是一種預(yù)測(cè)事件發(fā)生的概率的方法。它是基于馬爾可夫鏈，根據(jù)事件的目前狀況預(yù)測(cè)其將來各

2、個(gè)時(shí)刻（或時(shí)期）變動(dòng)狀況的一種預(yù)測(cè)方法。馬爾可夫預(yù)測(cè)法是對(duì)地理事件進(jìn)行預(yù)測(cè)的基本方法，它是地理預(yù)測(cè)中常用的重要方法之一。,狀態(tài)。指某一事件在某個(gè)時(shí)刻（或時(shí)期）出現(xiàn)的某種結(jié)果。狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程。事件的發(fā)展，從一種狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N狀態(tài)，稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移。馬爾可夫過程。在事件的發(fā)展過程中，若每次狀態(tài)的轉(zhuǎn)移都僅與前一時(shí)刻的狀態(tài)有關(guān)，而與過去的狀態(tài)無關(guān)，或者說狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程是無后效性的，則這樣的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程就稱為馬爾可夫過程。,,,幾個(gè)基本

3、概念,狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。在事件的發(fā)展變化過程中，從某一種狀態(tài)出發(fā)，下一時(shí)刻轉(zhuǎn)移到其它狀態(tài)的可能性，稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。由狀態(tài)Ei轉(zhuǎn)為狀態(tài)Ej的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率是,（3.7.1）,狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。假定某一個(gè)事件的發(fā)展過程有n個(gè)可能的狀態(tài)，即E1，E2，…，En。記為從狀態(tài)Ei轉(zhuǎn)變?yōu)闋顟B(tài)Ej的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率 ，則矩陣,幾個(gè)基本概念,稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。概率矩陣。 一般地，將滿足條件（3.7.3）

4、的任何矩陣都稱為隨機(jī)矩陣，或概率矩陣。,,（3.7.2）,,,（3.7.3）,,幾個(gè)基本概念,不難證明，如果P為概率矩陣，則對(duì)于任何整數(shù)m>0，矩陣都是概率矩陣。,標(biāo)準(zhǔn)概率矩陣、平衡向量。,如果P為概率矩陣，而且存在整數(shù)m>0，使得概率矩陣 中諸元素皆非零，則稱P為標(biāo)準(zhǔn)概率矩陣?？梢宰C明，如果P為標(biāo)準(zhǔn)概率矩陣，則存在非零向量 ，而且 滿足

5、 ， 使得： （3.7.4） 這樣的向量α稱為平衡向量，或終極向量。這就是說，標(biāo)準(zhǔn)概率矩陣一定存在平衡向量。,幾個(gè)基本概念,狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣的計(jì)算。

6、 計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P，就是求從每個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到其它任何一個(gè)狀態(tài)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率 。 為了求出每一個(gè)，一般采用頻率近似概率的思想進(jìn)行計(jì)算。,幾個(gè)基本概念,例題1： 考慮某地區(qū)農(nóng)業(yè)收成變化的三個(gè)狀態(tài)，即“豐收”、“平收”和“欠收”。記E1為“豐收”狀態(tài)，E2為“平收”狀態(tài)，E3為“欠收”狀態(tài)。表3.7.1給出了該地區(qū)1960～1999年期

7、間農(nóng)業(yè)收成的狀態(tài)變化情況。試計(jì)算該地區(qū)農(nóng)業(yè)收成變化的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。,表3.7.1　某地區(qū)農(nóng)業(yè)收成變化的狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況,從表3.7.1中可以知道，在15個(gè)從E1出發(fā)（轉(zhuǎn)移出去）的狀態(tài)中，(1)有3個(gè)是從E1轉(zhuǎn)移到E1的（即1→2，24→25，34→35）(2)有7個(gè)是從E1轉(zhuǎn)移到E2的（即2→3，9→10，12→13，15→16，29→30， 35→36，39→40）(3)有5個(gè)是從E1轉(zhuǎn)移到E3的（即6→7，

8、17→18，20→21，25→26，31→32）,① 計(jì)算：,所以,同理可得：,,,,,,,,② 結(jié)論：該地區(qū)農(nóng)業(yè)收成變化的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為,,（3.6.5）,狀態(tài)概率及其計(jì)算,狀態(tài)概率 ：表示事件在初始（k＝0）狀態(tài)為已知的條件下，經(jīng)過k次狀態(tài)轉(zhuǎn)移后，在第k 個(gè)時(shí)刻（時(shí)期）處于狀態(tài) 的概率。 且：根據(jù)馬爾可夫過程的無后效性及Bayes條件概率公式，有,（3.7.6）,（3.7.7）,

9、記行向量 ，則由（3.7.7）式可以得到逐次計(jì)算狀態(tài)概率的遞推公式：,（3.6.8）,式中， 為初始狀態(tài)概率向量。,第k個(gè)時(shí)刻（時(shí)期）的狀態(tài)概率預(yù)測(cè) 如果某一事件在第0個(gè)時(shí)刻（或時(shí)期）的初始狀態(tài)已知，即 已知，則利用遞推公式(3.7.8)式，就可以求得它經(jīng)過k次狀態(tài)轉(zhuǎn)移后，在第k

10、個(gè)時(shí)刻（時(shí)期）處于各種可能的狀態(tài)的概率，即 ，從而就得到該事件在第k個(gè)時(shí)刻（時(shí)期）的狀態(tài)概率預(yù)測(cè)。,馬爾可夫預(yù)測(cè)法,例題2： 將例題1中1999年的農(nóng)業(yè)收成狀態(tài)記為 =[0,1,0] ，將狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣（3.7.5）式及代入遞推公式（3.7.8）式，可求得2000——2010年可能出現(xiàn)的各種狀態(tài)的概率（見表3.7.2）。,表3.7.2　某地區(qū)1990—2000年農(nóng)業(yè)收成

11、 狀態(tài)概率預(yù)測(cè)值,終極狀態(tài)概率預(yù)測(cè),① 定義 ：經(jīng)過無窮多次狀態(tài)轉(zhuǎn)移后所得到的狀態(tài)概率稱為終極狀態(tài)概率 ，即： ② 終極狀態(tài)概率應(yīng)滿足的條件：,馬爾可夫預(yù)測(cè)法,③ 例題：在例1中，設(shè)終極狀態(tài)的狀態(tài)概率為 則,即： 求解該方程組得： ＝0.3653， ＝0.3525， ＝0.2799。 這說明，該地區(qū)農(nóng)業(yè)收成的

12、變化過程，在無窮多次狀態(tài)轉(zhuǎn)移后，“豐收”和“平收”狀態(tài)出現(xiàn)的概率都將大于“欠收”狀態(tài)出現(xiàn)的概率。,在地理事件的預(yù)測(cè)中，被預(yù)測(cè)對(duì)象所經(jīng)歷的過程中各個(gè)階段（或時(shí)點(diǎn)）的狀態(tài)和狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率是最為關(guān)鍵的。,馬爾可夫預(yù)測(cè)的基本方法就是利用狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率矩陣預(yù)測(cè)事件發(fā)生的狀態(tài)及其發(fā)展變化趨勢(shì)。,馬爾可夫預(yù)測(cè)法的基本要求是狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣必須具有一定的穩(wěn)定性。因此，必須具有足夠的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，才能保證預(yù)測(cè)的精度與準(zhǔn)確性。 換句話說，馬