行列式的引入

1、高等代數(shù)概念引入 之三: 行列式,,一. 二元一次方程組的幾何意義,行列式的定義,方程組,可寫成向量形式,即,1. 有唯一解的條件,不共線,即,2. 消元: 方程(1.1)兩邊與,(1.1),作內(nèi)積消去y, 得,其中,就是,同理得,圖2,因此,,于是,3. 二階行列式 — 平行四邊形面積,稱為二階行列式, 記作,是平行四邊形 OAPB 的有向面積,,是兩個向量,或,的函數(shù),,計算公式:,或,圖2,3. 代數(shù)算法,利用幾何圖形表達

2、出來, 就是:,以上算法用到二階行列式的如下基本性質(zhì),(1) det(a,b)可以看成向量 a,b 的乘積來展開: det(ka+k1a1, b) = k det(a,b) + k1det(a1,b) det(a, kb+k1b1)= k det(a,b) + k1det(a, b1),如圖,,就是,(3) 面積單位:det(e1,e2)=1,由,(2) det(a,a) = 0 鄰邊重合,平行四邊形退

3、化為線段, 面積為 0.,det(e2,e1) = -det(e1,e2) = -1,det(a,b) = - det(b,a),知,det(u,v)=det(u,v+au),可寫成,其中,二. 三階行列式與體積,1. 三元一次方程組的幾何意義,兩邊同時與,,方程,作內(nèi)積消去 y, z , 得到,類似地可以得到 y, z 的表達式。,當(dāng),時得,從原點O出發(fā)作有向線段OA，OB，OC使,則,就是以O(shè)A,OB,OC為棱的平行六面,體的有向

4、體積。稱為三階行列式，記作,2. 三階行列式 — 平行六面體體積,之三人擠成照片之維數(shù)變化,,三十多年前到上海，公共汽車很擠。 有人形容為：人擠成照片了。 三維的人擠成二維的照片， 體積變成 0 。 行列式兩列(行)相等，也擠成照片。,3. 三階行列式的基本性質(zhì),(3) det(e1, e2 , e3)=1 , e1,e2 ,e3 分別是三條坐標軸上的單位向量.,)可以看作,的乘積來展開.,(1) det(,(2) 如

5、果三個向量 中有兩個相等, 則 det( ) = 0 . ? 擠成 “照片” 將三個向量 中的任意兩個互換位置, 則det( ) 變?yōu)樵瓉碇档南喾磾?shù)。,4. 利用基本性質(zhì)計算三階行列式,(2.1),這樣的項可以從 (2.1) 中去掉。只剩下 i,j,k 兩兩不相等的項。(2.1) 變成,當(dāng) i,j,k 中有兩個相等

6、時，,代入(2.2), 得,又,類似地有,(2.2),我們有,類似地有,三. n 階行列式的引入,其中,n 階行列式,它應(yīng)具有以下基本性質(zhì)： (1) 是 的某種乘積，可以按乘法法則展開。 (2) 如果 n 個向量 中有兩個相等, 則 = 0 。將n個向量

7、 中的任意兩個互換順序， 則 變?yōu)?。 (3) det(e1,e2,…,en)=1，其中 n 維列向量 ei 的第 i 分量為1、其余分量為0。,是由,決定的 “n 維體積”,利用基本性質(zhì)計算 n 階行列式,(3.1),當(dāng) i1,i2,…,in 中有兩個相等時，,這樣的項可以從 (3.1) 中去掉。只剩下 i1,i2,…, in 兩兩不相等的項, (3.1)中的

8、 變成對1,2,…,n 的全體排列 (i1,i2,…, in ) 求和, 成為:,將排列 中任意兩個數(shù) 相互交換位置, 稱為這個排列的一個對換。相應(yīng)地，行列式 中的 互換了位置，其值變?yōu)樵瓉碇档南喾磾?shù) 。 進行若干次對換(設(shè)為 s

9、次)可以將排列 變成標準排列 (12…n), 相應(yīng)地將 變成,(3.2),以下只須對每個排列 求,可以證明, 的值由排列 唯一決定, 我們將 記為 sgn 。則,sgn,代入(3.3) 得到,(3.

10、3),于是得,這可以作為 n 階行列式的定義。,(3.4),四. n 階行列式的定義,1. 排列的奇偶性 由 1,2,…,n 按任意順序重新排列而成的有序數(shù)組 稱為一個 n元排列。 將 1,2,…,n 按從小到大的順序得到的排列 (12…n) 稱為自然排列。 在任意一個排列 中, 可能出現(xiàn)順序“顛倒”的情況：p jq ,

11、 也就是較大的數(shù) jp 反而排在較小的數(shù) jq 的前面。 每出現(xiàn)一對這樣的( jp, jq ) 稱為這個排列的一個逆序。,排列 中的逆序的個數(shù)稱為這個排列的逆序數(shù)，記作 。 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列，逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列。 例. 排列 (3142) 中的逆序共有 (3,1), (3,2), (4,2) 等

12、3 個, 因此 t(3142) = 3 , (3142) 是奇排列。 自然排列 (12…n) 的逆序數(shù)為0, 因此自然排列是偶排列。,將排列 中的某兩個數(shù)碼 jp, jq 互相交換位置, 稱為這個排列的一個對換。 每一次對換必然改變排列的奇偶性。 每一個排列 都可以經(jīng)過有限次對換變成自然排列 (12…n) 。

13、 設(shè)排列 經(jīng)過了 s 次對換變成自然排列。則當(dāng) s 為偶數(shù)時， 的奇偶性與自然排列相同, 是偶排列; 當(dāng) s 是奇數(shù)時， 的奇偶性與自然排列相反, 是奇排列。,將 n 個數(shù) aij (i,j = 1,2,…,n) 排成 n 行n列的形式, 按如下方式計算：,2. n 階行列式的定義,得到一個數(shù)，稱為 n 階行列式。,上面的式子中的求

14、和號 表示對所有的排列 求和。,五. n 元線性方程組,可以寫成,將 (5.1) 兩邊與,(5.1),點乘,可以消去除,外的所有未知數(shù), 在,0 時得,(Crammer 法則),六. 行列式與秩,幾何觀點: 線性無關(guān) ?? 秩為 n ?? 生成的空間的維數(shù) = n ?? n 維體積

15、 不為 0代數(shù)運算: det A不為0 ?? A = 0 只有零解 , x1A1+…+xnAn=0 只有零解. A1,A2,…,An 線性無關(guān). 行列式秩: