關(guān)于復(fù)方陣的行列式值域.pdf

1、符號矩陣?yán)碚撌墙M合矩陣論的一個新興研究分支，是近年來在組合數(shù)學(xué)中較為活躍的一個研究方向。該理論主要研究矩陣的僅與其符號模式有關(guān)的定性性質(zhì)。符號矩陣?yán)碚撟钤缙鹪从诮?jīng)濟(jì)學(xué)中對某些問題的定性性質(zhì)的研究。其開創(chuàng)性工作是由諾貝爾獎獲得者、經(jīng)濟(jì)學(xué)家P.Samuelson作出的(參見文獻(xiàn)[16])。由于符號矩陣?yán)碚撛诮?jīng)濟(jì)學(xué)中有著重要的應(yīng)用背景，從而引起了經(jīng)濟(jì)學(xué)家，數(shù)學(xué)家及計算機(jī)理論專家的廣泛關(guān)注。1995年，R.A.Brualdi與B.L.Shade

2、r的關(guān)于符號矩陣論的專著《Matrices of Sign-solvable Linear Systems》([5])的問世極大地推動了符號矩陣?yán)碚摰陌l(fā)展，它全面系統(tǒng)地總結(jié)了在符號矩陣?yán)碚摲矫娴难芯砍晒?，同時給出了許多新的結(jié)論，從而使符號矩陣?yán)碚摮蔀榻M合數(shù)學(xué)的一個新興的研究熱點(diǎn)。 近年來，符號矩陣?yán)碚摰难芯坑兄鴱膶崝?shù)域向復(fù)數(shù)域推廣的趨勢。1997年，J.J. McDonald，D. D. Olesky M. J. Tsatsom

3、eros和P. van den Driessche在文獻(xiàn)[14]中將符號模式矩陣的概念推廣到ray模式矩陣，并研究了ray模式矩陣的ray非奇異性及ray模式矩陣類的行列式值域的問題。1998年，C. A. Eschenbach，F(xiàn). J. Hall，and Z.Li.等在文獻(xiàn)[6]中從另一個方面對符號模式矩陣的概念做了推廣，即所謂的“復(fù)符號模式矩陣”。在以上兩種推廣下都有一個基本問題有待解決，即ray非異陣或復(fù)符號非異陣的特征刻畫。為

4、了便于研究這個問題，在文獻(xiàn)[14]中McDonald等同時提出了行列式值域的概念。2005年，在文獻(xiàn)[20]中Jia-Yu Shao和Hai-YingShan對行列式值域問題進(jìn)行了深入的研究，給出了一些行列式值域的必要條件，并據(jù)此列出了所有可能成為某一個矩陣在復(fù)符號模式下的行列式值域的區(qū)域形狀。對于ray模式矩陣的行列式值域，他們定義了一個和行列式值域的形狀密切相關(guān)的參數(shù)：行列式值域的葉數(shù)，并關(guān)于葉數(shù)這個參數(shù)提出了如下一些問題。

5、 問題1：葉數(shù)是否一定有限? 問題2：如果葉數(shù)有上界，確定葉數(shù)的上確界，同時給出不同葉數(shù)的行列式值域的特征。 對于復(fù)符號模式可以提出類似的問題。 本文將主要對葉數(shù)這個參數(shù)進(jìn)行研究。在文中我們定義了一種矩陣間的距離，利用這個概念我們證明復(fù)方矩陣在ray模式下行列式值域的葉數(shù)一定有限，并且最大可能值是2，然后我們證明葉數(shù)為2的矩陣行列式值域一定關(guān)于原點(diǎn)對稱。利用上述結(jié)論我們列出了所有可能的ray模式下的行列式值域的形