第一章第一節(jié)隨機試驗

1、秦 猛 南京大學物理系 qinmeng@nju.edu.cn 手機：13913939339,數(shù)據(jù)統(tǒng)計與分析,,參考教材：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》 高新祖 陳華鈞 編著 南京大學出版社,1,Las vegas！,2,把兩顆骰子擲出去，以每個骰子朝上的點數(shù)之和作為賭的內(nèi)容。,課程要求,,隨機現(xiàn)象有章循，概率統(tǒng)計是入門。分布

2、離散與連續(xù)，細說主要有六型：O一二項加泊松，指數(shù)正態(tài)和均勻。數(shù)學期望及方差，了解整體看特征。重復試驗趨穩(wěn)定，平均正態(tài)攏中心。參數(shù)估計靠抽樣，區(qū)間置信UT型，咖芳愛夫限方差，假設檢驗是同門。皮爾紳士說分布，人人能得一百分。,一、 概率論的誕生及應用二、 隨機現(xiàn)象三、 隨機試驗,1.1 隨機試驗,,,1654年,一個名叫梅勒的騎士就“兩個賭徒約定賭若干局, 且誰先贏 c 局便算贏家, 若在一賭徒勝 a 局 ( a<

3、c ),另一賭徒勝b局(b<c)時便終止賭博,問應如何分賭本” 為題求教于帕斯卡, 帕斯卡與費馬通信討論這一問題, 于1654 年共同建立了概率論的第一個基本概念,一、概率論的誕生及應用,1. 概率論的誕生,,荷蘭數(shù)學家惠更斯（Huygens）也的到了不同的 解法，并與1657年寫成了概率論最早的論著 《論擲骰子游戲中的計算》,瑞士的貝努里（Bernoulli）在其概率論巨著 《猜度術》中提出了最早的大數(shù)定理 貝努里定

4、理 1812年，法國數(shù)學家拉普拉斯出版《分析的概 率理論》，成為概率論平穩(wěn)持續(xù)發(fā)展的標志 20世紀，概率論建立在嚴格的邏輯基礎上，使 之成為一個嚴謹?shù)臄?shù)學分支 如今，概率論和以它為基礎的數(shù)理統(tǒng)計學科一 起，在諸多領域中發(fā)揮重要的作用,,6,2. 概率論的應用,概率論和數(shù)理統(tǒng)計，它研究隨機現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律， 概率論的應用幾乎遍及所有的生活領域、社會領域以及科學領域，例如天氣預報、 地震預報、航天技術、海洋探險、產(chǎn)品的抽樣調(diào)

5、查，在通訊工程中概率論可用以提高信號的抗干擾性、分辨率等等以及科學研究中發(fā)揮著重要的作用. 同時它還形成了許多邊緣學科，信息論、自動控制、生物統(tǒng)計、統(tǒng)計物理學、計量經(jīng)濟學等,在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.,“太陽不會從西邊升起”,,1.確定性現(xiàn)象,“同性電荷必然互斥”,,“水從高處流向低處”,,實例,自然界所觀察到的現(xiàn)象:,確定性現(xiàn)象,隨機現(xiàn)象,二、隨機現(xiàn)象,在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象,稱為隨機

6、現(xiàn)象.,實例1 在相同條件下擲一枚均勻的硬幣，觀察正反兩面出現(xiàn)的情況.,2. 隨機現(xiàn)象,“函數(shù)在間斷點處不存在導數(shù)” 等.,結(jié)果有可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面.,確定性現(xiàn)象的特征,條件完全決定結(jié)果,10,結(jié)果有可能為:,1, 2, 3, 4, 5 或 6.,實例3 拋擲一枚骰子,觀 察出現(xiàn)的點數(shù).,實例2 用同一門炮向同 一目標發(fā)射同一種炮彈多 發(fā) , 觀察彈落點的情況.,結(jié)果: 彈落

7、點會各不相同.,實例4 從一批含有正品和次品的產(chǎn)品中任意抽取一個產(chǎn)品.,其結(jié)果可能為:,正品 、次品.,實例5 過馬路交叉口時,可能遇上各種顏色的交通指揮燈.,實例6 出生的嬰兒可能是男,也可能是女.,實例7 明天的天氣可能是晴 , 也可能是多云或雨.,隨機現(xiàn)象的特征,概率論就是研究隨機現(xiàn)象規(guī)律性的一門學科.,條件不能完全決定結(jié)果,2. 隨機現(xiàn)象在一次觀察中出現(xiàn)什么結(jié)果具有偶然性, 但在大量試驗或觀察

8、中, 這種結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的統(tǒng)計規(guī)律性 , 概率論就是研究隨機現(xiàn)象這種本質(zhì)規(guī)律的一門數(shù)學學科.,隨機現(xiàn)象是通過隨機試驗來研究的.,問題 什么是隨機試驗?,如何來研究隨機現(xiàn)象?,說明,1. 隨機現(xiàn)象揭示了條件和結(jié)果之間的非確定性聯(lián)系 , 其數(shù)量關系無法用函數(shù)加以描述.,1. 可以在相同的條件下重復地進行;,2. 每次試驗的可能結(jié)果不止一個,并且能事先明確試驗的所有可能結(jié)果;,3. 進行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn).,在概

9、率論中,把具有以下三個特征的試驗稱為隨機試驗.,定義,三、隨機試驗,說明,1. 隨機試驗簡稱為試驗, 是一個廣泛的術語.它包括各種各樣的科學實驗, 也包括對客觀事物進行的 “調(diào)查”、“觀察”或 “測量” 等.,實例 “拋擲一枚硬幣,觀察字面,花面出現(xiàn)的情況”.,分析,2. 隨機試驗通常用 E 來表示.,(1) 試驗可以在相同的條件下重復地進行;,1. 拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù).,2. 從一批產(chǎn)品中,依次任選三件,記 錄出現(xiàn)正品

10、與次品的件數(shù).,同理可知下列試驗都為隨機試驗.,(2) 試驗的所有可能結(jié)果:,字面、花面;,(3) 進行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn).,故為隨機試驗.,3. 記錄某公共汽車站某日上午某時刻的等車人數(shù).,4. 考察某地區(qū) 10 月份的平均氣溫.,5. 從一批燈泡中任取一只,測試其壽命.,四、小結(jié),隨機現(xiàn)象的特征:,1. 概率論是研究隨機現(xiàn)象規(guī)律性的一門學科.,條件不能完全決定結(jié)果.,2. 隨機現(xiàn)象是通過隨機試驗來研究的.,

11、(1) 可以在相同的條件下重復地進行;,(2) 每次試驗的可能結(jié)果不止一個, 并且能事先明確試驗的所有可能結(jié)果;,(3) 進行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn).,隨機試驗,一、樣本空間 樣本點,三、隨機事件間的關系及運算,二、隨機事件的概念,四、小結(jié),1.2　樣本空間、隨機事件,,20,問題 隨機試驗的結(jié)果?,定義 隨機試驗 E 的所有可能結(jié)果組成的集合稱為 E 的樣本空間, 記為 S .,樣本空間的元素 ,

12、即試驗E 的每一個結(jié)果, 稱為樣本點.,實例1 拋擲一枚硬幣,觀察字面,花面出現(xiàn)的情況.,一、樣本空間 樣本點,實例2 拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù).,實例3 從一批產(chǎn)品中,依次任選三件,記錄出 現(xiàn)正品與次品的情況.,實例4 記錄某公共汽車站某日 上午某時刻的等車人數(shù).,實例5 考察某地區(qū) 12月份的平 均氣溫.,實

13、例6 從一批燈泡中任取 一只, 測試其壽命.,實例7 記錄某城市120 急 救電話臺一晝夜接 到的呼喚次數(shù).,答案,寫出下列隨機試驗的樣本空間.,1. 同時擲三顆骰子,記錄三顆骰子之和.,2. 生產(chǎn)產(chǎn)品直到得到10件正品,記錄生產(chǎn)產(chǎn)品 的總件數(shù).,課堂練習,2. 同一試驗 , 若試驗目的不同,則對應的樣 本空

14、 間也不同.,例如 對于同一試驗: “將一枚硬幣拋擲三次”.,若觀察正面 H、反面 T 出現(xiàn)的情況 ,則樣本空間為,若觀察出現(xiàn)正面的次數(shù) , 則樣本空間為,說明 1. 試驗不同, 對應的樣本空間也不同.,說明 3. 建立樣本空間,事實上就是建立隨機現(xiàn) 象的數(shù)學模型. 因此 , 一個樣本空間可以 概括許多內(nèi)容大不相同的實際問題.,例如 只包含兩個樣本點的樣本

15、空間,它既可以作為拋擲硬幣出現(xiàn)正面或出現(xiàn)反面的模型 , 也可以作為產(chǎn)品檢驗中合格與不合格的模型 , 又能用于排隊現(xiàn)象中有人排隊與無人排隊的模型等.,所以在具體問題的研究中 , 描述隨機現(xiàn)象的第一步就是建立樣本空間.,隨機事件 隨機試驗 E 的樣本空間 S 的子集稱 為 E 的隨機事件, 簡稱事件.,試驗中,骰子“出現(xiàn)1點”, “出現(xiàn)2點”, … ,“出現(xiàn)6點”,,“點數(shù)不大于4”,

16、 “點數(shù)為偶數(shù)” 等都為隨機事件.,1. 基本概念,二、隨機事件的概念,實例 上述試驗中 “點數(shù)不大于6” 就是必然事件.,必然事件 隨機試驗中必然會出現(xiàn)的結(jié)果.,不可能事件 隨機試驗中不可能出現(xiàn)的結(jié)果.,實例 上述試驗中 “點數(shù)大于6” 就是不可能事件.,必然事件的對立面是不可能事件,不可能事件的對立面是必然事件,它們互稱為對立事件.,實例 “出現(xiàn)1點”, “出現(xiàn)2點”, … , “出現(xiàn)6點”.,基本事件

17、 由一個樣本點組成的單點集.,30,2. 幾點說明,例如 拋擲一枚骰子, 觀察出現(xiàn)的點數(shù).,可設 A = “點數(shù)不大于4”,,B = “點數(shù)為奇數(shù)” 等等.,隨機事件可簡稱為事件, 并以大寫英文字母 A, B, C, 來表示事件,(2) 隨機試驗、樣本空間與隨機事件的關系,每一個隨機試驗相應地有一個樣本空間, 樣本空間的子集就是隨機事件.,隨機試驗,,樣本空間,隨機事件,隨機事件,基本事件,必然事件,

18、不可能事件,復合事件,互為對立事件,1. 包含關系,若事件 A 出現(xiàn), 必然導致 B 出現(xiàn) ,,則稱事件 B 包含事件 A,記作,實例 “長度不合格” 必然導致 “產(chǎn)品不合格”,所以“產(chǎn)品不合格”,包含“長度不合格”.,圖示 B 包含 A.,,S,,B,三、隨機事件間的關系及運算,2. A等于B 若事件 A 包含事件 B， 而且事件B 包含事件 A，則稱事件 A 與事件 B 相等，記作 A=B.,3. 事件 A 與 B 的并(和

19、事件),實例 某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長度與直徑是否合格所決定,因此 “產(chǎn)品不合格”是“長度不合格”與“直徑不合格”的并.,圖示事件 A 與 B 的并.,,S,,A,4. 事件 A 與 B 的交 (積事件),圖示事件A與B 的積事件.,,S,,A,,B,AB,實例 某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長度 與直徑是否合格所決定,因此“產(chǎn)品合格”是“長度合格”與“直徑合格”的交或

20、積事件.,和事件與積事件的運算性質(zhì),5. 事件 A 與 B 互不相容 (互斥),若事件 A 的出現(xiàn)必然導致事件 B 不出現(xiàn), B出現(xiàn)也必然導致 A不出現(xiàn),則稱事件 A與B互不相容, 即,實例 拋擲一枚硬幣, “出現(xiàn)花面” 與 “出現(xiàn)字面” 是互不相容的兩個事件.,“骰子出現(xiàn)1點” “骰子出現(xiàn)2點”,圖示 A 與 B 互斥.,,S,實例 拋擲一枚骰子, 觀察出現(xiàn)的點數(shù) .,6.

21、 事件 A 與 B 的差,由事件 A 出現(xiàn)而事件 B 不出現(xiàn)所組成的事件稱為事件 A 與 B 的差. 記作 A- B.,圖示 A 與 B 的差.,,S,,A,,B,實例 “長度合格但直徑不合格” 是 “長度合格” 與 “直徑合格” 的差.,40,設 A 表示“事件 A 出現(xiàn)”, 則“事件 A 不出現(xiàn)”稱為事件 A 的對立事件或逆事件. 記作,實例 “骰子出現(xiàn)1點” “骰子不出

22、現(xiàn)1點”,圖示 A 與 B 的對立.,,S,B,若 A 與 B 互逆,則有,7. 事件 A 的對立事件,對立事件與互斥事件的區(qū)別,,,S,S,B,A、B 對立,A、B 互斥,互 斥,對 立,,,,事件間的運算規(guī)律,(6) 不多于一個事件出現(xiàn);,(1)沒有一個是次品;,(2)至少有一個是次品;,(3)只有一個是次品;,(4)至少有三個不是次品;,(5)恰好有三個是次品;,(6)至多有一個是次品.,解,隨機試驗,隨機事件,四、小

23、結(jié),1. 隨機試驗、樣本空間與隨機事件的關系,50,2. 概率論與集合論之間的對應關系,一、頻率的定義與性質(zhì),二、概率的定義與性質(zhì),三、小結(jié),1.3 頻率與概率,,,,1. 定義,一、頻率的定義與性質(zhì),2. 性質(zhì),設 A 是隨機試驗 E 的任一事件, 則,實例 將一枚硬幣拋擲 5 次、50 次、500 次, 各做 7 遍, 觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率.,,,,波動最小,隨n的增大, 頻率 f 呈現(xiàn)出穩(wěn)定性,從上述數(shù)據(jù)可得,(2)

24、 拋硬幣次數(shù) n 較小時, 頻率 f 的隨機波動幅度較大, 但隨 n 的增大 , 頻率 f 呈現(xiàn)出穩(wěn)定性.即當 n 逐漸增大時頻率 f 總是在 0.5 附近擺動, 且逐漸穩(wěn)定于 0.5.,(1) 頻率有隨機波動性,即對于同樣的 n, 所得的 f 不一定相同;,,我們再來看一個驗證頻率穩(wěn)定性的著名實驗,高爾頓(Galton)板試驗.,試驗模型如下所示:,自上端放入一小球,任其自由下落,在下落過程中當小球碰到釘子時,從左邊落下與

25、從右邊落下的機會相等.碰到下一排釘子時又是如此.最后落入底板中的某一格子.因此,任意放入一球,則此球落入哪一個格子,預先難以確定.但是如果放入大量小球,則其最后所呈現(xiàn)的曲線,幾乎總是一樣的.,單擊圖形播放/暫停　ESC鍵退出,請看動畫演示,60,重要結(jié)論,頻率當 n 較小時波動幅度比較大，當 n 逐漸增大時 ， 頻率趨于穩(wěn)定值，這個穩(wěn)定值從本質(zhì)上反映了事件在試驗中出現(xiàn)可能性的大?。褪鞘录母怕剩?醫(yī)生在檢查完病人的時候