變異系數(shù)

1、169,第 5 章,樣本資料的數(shù)值分布,170,統(tǒng)計量(statistic)或表徵數(shù)：依據(jù)樣本資料計算出具有特定意義的數(shù)值，是描述統(tǒng)計學(Descriptive Statistics)的主要內(nèi)容，也是推論統(tǒng)計學的推論基礎。統(tǒng)計量的測量(measure)或統(tǒng)計量的計算：定義和計算出統(tǒng)計量的過程或方法。,171,1.集中趨勢量數(shù)(measures of central tendency)：位於圖形最高點附近的統(tǒng)計量，包含平均數(shù)(Mean

2、)、中位數(shù)(Median)和眾數(shù)(Mode)；2.差異量數(shù)(measures of variability)：集中趨勢量數(shù)平均數(shù)上下界限的統(tǒng)計量，包含標準差(Std deviation)和變異數(shù)(Variance)；,曲線圖與統(tǒng)計量的關係：,172,3.大小量數(shù)(measures for size)：位於圖形二極端點的統(tǒng)計量，包括最大值(Maximum)、最小值(Minimum)和全距(Range)；4.偏差量數(shù)(measur

3、es of deviation from normality)：表示圖形是否常態(tài)分布的統(tǒng)計量，包括偏態(tài)(Skewness)和峰度(Kurtosis)。,173,1.抽樣誤差(sampling error)或平均數(shù)穩(wěn)定性量數(shù)(measures of stability)：用標準誤差(S.E. mean)來表示，是推論統(tǒng)計學的基礎；2.五數(shù)綜合(five-number summary)圖：最大值(Maximum) 、第一四分位數(shù)(fi

4、rst quartile)、中位數(shù)(Median)、第三四分位數(shù)(third quartile)和最小值(Minimum)；,具有特殊意義的圖形或量數(shù)：,174,3.盒形圖(boxplot)：將五數(shù)綜合圖加上二個內(nèi)柵，用來找出離群值(outlier)；4.相對變異量數(shù)(measures of relative variability)：比較不同單位變項間的變異，例如變異係數(shù)(coefficient of variation)。,1

5、75,5.1常用數(shù)學運算符號,1.求總和的數(shù)學符號Σ(sigma)：,176,5.1常用數(shù)學運算符號,3.用積分符號表示機率函數(shù)：,(5.6),177,5.2集中趨勢量數(shù),集中趨勢量數(shù)(measures of central tendence)或中心位置量數(shù)(measures of central location)：圖形最高點的統(tǒng)計量，平均數(shù)(Mean)、中位數(shù)(Median)或眾數(shù)(Mode)。,178,5.2.1算術平

6、均數(shù),179,5.2.2中位數(shù),180,5.2.2中位數(shù),181,5.2.3眾　數(shù),眾數(shù)(Mode)mo：出現(xiàn)次數(shù)最多次的值。眾數(shù)求算步驟如下： 1.將 n 個觀測值由小到大重新排列。 2.重複出現(xiàn)次數(shù)最多的觀測值就是眾數(shù)。,182,5.2.4集中量數(shù)間的關係,算術平均數(shù) 、中位數(shù) md 和眾數(shù) mo 關係圖形：,1.單峰對稱 (symmetric) 分布： 參閱圖 5.1。,圖5.1　單峰對稱分布,183

7、,2.單峰左偏 (skewed to left)分布： 參閱圖 5.2。,圖5.2　單峰左偏分布,5.2.4集中量數(shù)間的關係,184,3.單峰右偏 (skewed to right)分布： 參閱圖5.3。,圖5.3　單峰右偏分布,5.2.4集中量數(shù)間的關係,185,5.2.5平均數(shù)與中位數(shù)的使用時機,選用原則如下：,1.常態(tài)分布，二者皆可使用，優(yōu)先使用平均數(shù)。2.偏態(tài)分布，中位數(shù)比平均數(shù)具代表性。3.序位變

8、項或整群抽樣資料，使用中位數(shù)。4.指數(shù)或對數(shù)分布變項，使用中位數(shù)。5.母數(shù)推論統(tǒng)計法使用平均數(shù)，無母數(shù)推論統(tǒng)計法使用中位數(shù)。,186,5.3平均數(shù)的差異量數(shù),差異量數(shù)(measures of variability)、離勢量數(shù)(measures of dispersion)或分散量數(shù)(measures of spread)：表示分散情形的統(tǒng)計量，標準差(Standard deviation)和變異數(shù)(Variance)。,18

9、7,5.3.1變異數(shù),188,5.3.1變異數(shù),189,5.3.2標準差,190,5.3.2標準差,母體標準差：,(5 .15),變異數(shù)或標準差大，表示觀測值差異性或分散程度大。,191,5.4分布的大小量數(shù),大小量數(shù)(measures for size)或分布的分散(spread of the distribution)：觀測值或圖形二極端值的統(tǒng)計量，最大值(Maximum)、最小值(Minimum)和全距(Range)。

10、最大值(Maximum)：最大的觀測值。最小值(Minimum)：最小的觀測值。全距R(Range)：最大值 max 和最小值 min 的差：,(5 .16),192,5.5常態(tài)分布的偏差量數(shù),偏差量數(shù)(measures of deviation from normality)：判斷資料是否常態(tài)分布的統(tǒng)計量，偏態(tài)(Skewness)和峰度(Kurtosis)。,193,判斷標準如下：,(1)高窄峰 (leptokurtic)：

11、峰度 Kur > 3。(2)常態(tài)峰 (mesokurtic)：峰度 Kur = 3。(3)低闊峰 (platykurtic)：峰度 Kur < 3。,5.5.1峰　度,峰度(Kurtosis)或峰度係數(shù)：量度尖(peakness)或平(flatness)程度的統(tǒng)計量：,(5.17),194,5.5.1峰　度,195,判斷標準：,(1)高窄峰 (leptokurtic)：峰度 Kur > 0。參閱圖

12、5.5(2)常態(tài)峰 (mesokurtic)：峰度 Kur = 0。參閱圖 5.1(3)低闊峰 (platykurtic)：峰度 Kur < 0。參閱圖 5.4,5.5.1峰　度,196,5.5.1峰　度,197,5.5.2偏　態(tài),偏態(tài)(Skewness)或偏態(tài)係數(shù)：量度偏離對稱程度的統(tǒng)計量：,(5.19),198,判斷標準如下：,(1)右偏 (skewed to the right)：偏態(tài) Sk &g

13、t; 0。參閱圖 5.2。(2)對稱 (symmetry)：偏態(tài) Sk = 0 。參閱圖 5.1。(3)左偏 (skewed to the left)：偏態(tài)Sk < 0 。參閱圖 5.3。,5.5.2偏　態(tài),199,1.中距值(mid-range)與平均數(shù)比較，二數(shù)有明顯差異，是偏差形態(tài)，中距值 MR：,5.5.3簡易判斷法,快速判斷偏差形態(tài)的方法：,(5.20),2.標準差與平均數(shù)比較，標準差超

14、過平均數(shù) 25%，是偏差形態(tài)。3.最大值和最小值與比較，超出 範圍，是偏差形態(tài)。,200,5.6穩(wěn)定性量數(shù),標準誤差(S.E. mean 或Standard errors)或標準誤：表示平均數(shù)穩(wěn)定性或抽樣誤差大小的統(tǒng)計量：,(5.21),201,5.7分布的比較及離群值,五數(shù)綜合(five-number summary)圖：最大值(maximum) 、第一四分位數(shù)(first quartile)、中位數(shù)(median)

15、、第三四分位數(shù)(third quartile)和最小值(minimum)。盒形圖(boxplot)：由五數(shù)綜合圖增加二內(nèi)柵而成，用來找出離群值(outlier)。,202,5.7.1四分位數(shù),203,5.7.1四分位數(shù),4. 第二個分割點 50%的位置O(Q2)或O(md)：,(5.8),204,5.7.1四分位數(shù),5. 第三個分割點 75% 的位置 O ( Q3 )：,(5.23),205,5.7.2五數(shù)綜合圖,五數(shù)綜合圖：

16、將最小值 min、第一四分位數(shù) Q1、中位數(shù) md、第三四分位數(shù) Q3 和最大值 max 依序按比例大小排列，五條垂直線表示五數(shù)的位置，然後在 Q1、md和 Q3之間繪出盒形，如圖 5.6 所示：,206,5.7.3四分位差,207,5.7.4盒形圖,盒形圖：將五數(shù)綜合圖中間的盒形邊緣向二端各延伸相同距離的內(nèi)柵(inner fence)。內(nèi)柵 IF 1和 IF2：,(5.27),208,5.7.4盒形圖,盒形圖如圖5.7所示：,

17、209,5.8相對離勢量數(shù),相對離勢量數(shù)(measures of relative dispersion)：比較相同或不同單位變項間相對變異情形的統(tǒng)計量，例如變異係數(shù)(coefficient of variation)。變異係數(shù)(coefficient of variation) C.V.：標準差和算術平均數(shù)的比值：,(5.28),變異係數(shù)沒有單位，變異係數(shù)大者，該變項分散程度或差異性較大。,210,5.9偏態(tài)資料的處理,偏態(tài)資料

18、來源：,1.資料本身具有偏態(tài)的特性2.受離群值影響。,211,5.9.1 資料轉換,轉換前變數(shù) x 和轉換後變數(shù) x?,212,5.9.2 幾何平均數(shù),幾何平均數(shù) G：,(5.31),213,5.9.3 截尾算術平均數(shù),截尾算術平均數(shù)(trimmed mean)或修剪平均數(shù)：,214,5.9.4 Windsorized 算術平均數(shù),Windsorized 算術平均數(shù)計算步驟如下：,1.求出 Q1 和 Q3。2.小於

19、Q1 的資料一律改成 Q1 的值。3.大於 Q3 的資料一律改成 Q3 的值。4.計算修改後的算術平均數(shù)。5.此種算術平均數(shù)稱為Windsorized 算術平均數(shù) (Windsorized mean)。,215,5.10例　題,216,217,218,219,220,221,222,223,224,225,226,,227,228,229,230,,231,232,233,,234,235,236,237,238,239,

20、240,241,242,243,244,245,5.10例　題,246,247,,248,5.11結　語,1.常態(tài)分布資料，算術平均數(shù)具有足夠代表性，使用母數(shù)統(tǒng)計法是最佳選擇。2.偏態(tài)分布資料，將資料轉換、刪除或修改成常態(tài)分布，然後使用母數(shù)統(tǒng)計法推論和分析。3.不能轉換或修改偏態(tài)分布資料，中位數(shù)比算術平均數(shù)更具代表性，使用無母數(shù)統(tǒng)計法是最佳的選擇。,249,5.11結　語,4.算術平均數(shù)搭配變異數(shù)或標準差，中位數(shù)通常四