具有隨機(jī)投資收益的風(fēng)險(xiǎn)模型下若干破產(chǎn)問題的研究.pdf

1、風(fēng)險(xiǎn)理論是保險(xiǎn)精算學(xué)的核心研究?jī)?nèi)容之一,它通過研究保險(xiǎn)業(yè)中的隨機(jī)模型來處理與精算相關(guān)的一些問題,因此模型的選取在風(fēng)險(xiǎn)理論的研究中起到非常核心的作用。關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)模型的早期研究可以上溯到Lundberg[59]的結(jié)果,他的工作奠定了風(fēng)險(xiǎn)理論的基礎(chǔ)。時(shí)至近日,已經(jīng)有大量的論文和專著對(duì)Lundherg[59]的工作做了各種形式的推廣和深入研究。其中一個(gè)方面是就是模型的推廣,如研究更新風(fēng)險(xiǎn)模型、帶擾動(dòng)的經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型、離散風(fēng)險(xiǎn)模型、復(fù)合資產(chǎn)的破產(chǎn)論以

2、及精算與金融的交叉研究等。另外一個(gè)方面是控制理論和風(fēng)險(xiǎn)理論研究的結(jié)合,如討論隨機(jī)控制理論在投資、再保險(xiǎn)、紅利分配、新險(xiǎn)種開發(fā)、費(fèi)率厘定等領(lǐng)域的應(yīng)用,詳情可參考Hipp[42]的綜述。本文研究在一類具有隨機(jī)投資收益的風(fēng)險(xiǎn)模型下的破產(chǎn)問題以及與破產(chǎn)問題有關(guān)的一些最優(yōu)控制問題,主要討論了兩大類情形：連續(xù)時(shí)間的風(fēng)險(xiǎn)模型和離散時(shí)間的風(fēng)險(xiǎn)模型。全文分為三大部分,共七章,其中第一章為前言,介紹了一些與本文有關(guān)的基本知識(shí)和本文的主要工作結(jié)果。

3、第一部分(第二章、第二章)討論的是具有隨機(jī)投資收益的連續(xù)時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型。第二章討論的是具有隨機(jī)投資收益的隨機(jī)保費(fèi)模型,假定公司的保費(fèi)收入是一隨機(jī)過程,而風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)的資本價(jià)格過程為指數(shù)Lévy過程。同已有的關(guān)于具有隨機(jī)投資收益的風(fēng)險(xiǎn)模型的研究相比,本文考慮的是保費(fèi)為隨機(jī)的情況,并且通過離散化的方法得到上述模型的骨架過程,山此得到了破產(chǎn)概率的顯式表達(dá)式。此外,在這種模型下我們還討論了破產(chǎn)理論中的一些經(jīng)典研究?jī)?nèi)容,如破產(chǎn)概率的上下界估計(jì)等。在投資

4、回報(bào)過程的幾何布朗運(yùn)動(dòng)等特殊情形下我們得到了破產(chǎn)概率所滿足的積分微分方程并給出了一些例子來說明這些方程的用處。第三章我們考慮了兩種情況,第一種是帶擾動(dòng)的隨機(jī)保費(fèi)模型下的破產(chǎn)問題,這部分工作是Paulsen[68]的推廣。我們假定保費(fèi)收入過程不僅僅是時(shí)間的線性函數(shù),而且有額外的隨機(jī)保費(fèi)收益。若保險(xiǎn)人將其盈余投資于股票市場(chǎng),我們假定股票市場(chǎng)的投資回報(bào)產(chǎn)生過程為一類帶跳的擴(kuò)散過程。結(jié)合鞅方法和隨機(jī)分析的理論,得到了破產(chǎn)時(shí)刻的Laplace變換

5、所滿足的一類積分微分方程特別的,由此可得破產(chǎn)概率滿足的積分微分方程。在一些特殊情形下,通過上述方程,我們得到了破產(chǎn)概率的漸近表達(dá)式。第二種情況是保險(xiǎn)人將其盈余投資于債券市場(chǎng)時(shí)的破產(chǎn)問題。我們用Vasicek模型刻畫債券市場(chǎng)的隨機(jī)利率過程,并重點(diǎn)討論了這種模型下的破產(chǎn)概率的分解以及破產(chǎn)概率所滿足的積分微分方程。在金融數(shù)學(xué)中討論債券市場(chǎng)的一些定價(jià)問題時(shí),已經(jīng)有較豐富的成果涉及Vasicek隨機(jī)利率模型(見文獻(xiàn)[57]等),但是討論在這種利率

6、結(jié)構(gòu)下的破產(chǎn)問題還是不多見的。 第二部分(第四章、第五章)討論的是利用最優(yōu)控制理論來研究在一類具有隨機(jī)投資收益的風(fēng)險(xiǎn)模型下的破產(chǎn)問題。第四章討論的是以期望終端效用最大化為目標(biāo)的最優(yōu)投資與再保險(xiǎn)問題。假定公司的盈余過程為帶擾動(dòng)的隨機(jī)保費(fèi)模型,并且公司的盈余可以進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)投資,其投資同報(bào)產(chǎn)生過程為一類帶跳的擴(kuò)散過程。同已有的相關(guān)工作相比,本部分工作的不同之處在于我們討論的模型是具有隨機(jī)保費(fèi)的,而投資回報(bào)過程是帶跳的擴(kuò)散過程,不僅僅是經(jīng)

7、典的帶漂移的布朗運(yùn)動(dòng)的情況。通過求解與優(yōu)化問題有關(guān)的Hamilton-Jacobi-Bellman方程,我們得到了最優(yōu)策略和值函數(shù)的封閉形式解。第五章討論的是小理賠情形下以破產(chǎn)概率最小化為目標(biāo)的最優(yōu)投資策略的漸近估計(jì)。我們通過最小化破產(chǎn)概率的上界得到了一個(gè)最大化的調(diào)節(jié)系數(shù)以及相應(yīng)的常值投資策略。我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)初始盈余趨向于正無窮時(shí),最優(yōu)的投資策略趨向于這個(gè)常值策略。這個(gè)結(jié)果說明,即使保險(xiǎn)人的盈余很大,在以破產(chǎn)概率最小化為目標(biāo)時(shí),其策略仍然

8、是非常保守的。因此,在尋求最優(yōu)的投資方案時(shí),使破產(chǎn)概率最小并不是一個(gè)非常合適的優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)。 第三部分(第六章、第七章)我們討論的是離散風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)問題。在經(jīng)典模型及其一些推廣工作中都假定理賠額之間是獨(dú)立的,但是隨著保險(xiǎn)業(yè)務(wù)額日趨復(fù)雜化以及再保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的開發(fā),研究相依理賠的風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)問題已經(jīng)很有必要,比如Yang和Zhang[85]的工作,我們討論的是一類有隨機(jī)利率的離散風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)問題,假定理賠額之間是相依的,服從AR(1)

9、結(jié)構(gòu),而隨機(jī)利率為時(shí)齊的馬氏鏈。同Cai[14]的工作相比,本章研究的模型的理賠是相依的,同Yang和Zhang[85]的工作相比,我們考慮的利率結(jié)構(gòu)是馬氏相依的,而不僅僅是常值利率的情形。破產(chǎn)概率的上界是破產(chǎn)理論的核心研究?jī)?nèi)容之一,本章利用鞅方法和遞推的方法得到了破產(chǎn)概率的上界。第七章討論的是離散模型下以期望累計(jì)紅利最大化為目標(biāo)的最優(yōu)紅利分配政策,通過Bellman最優(yōu)性準(zhǔn)則,我們得到了最優(yōu)值函數(shù)滿足的動(dòng)態(tài)規(guī)劃方程,并結(jié)合實(shí)例解釋了求