余有限提升模和τ-半正則模

上傳人：奔*** IP屬地：河北更新時間：2024-03-01 格式：docx 頁數(shù)：50 大?。?.15MB 人氣指數(shù)：12 舉報 版權(quán)申訴

已閱讀1頁，還剩49頁未讀，繼續(xù)免費閱讀

版權(quán)說明：本文檔由用戶提供并上傳，收益歸屬內(nèi)容提供方，若內(nèi)容存在侵權(quán)，請進行舉報或認(rèn)領(lǐng)

文檔簡介

1、　　余有限提升模和ｆ一半正則模　　摘要　　在同調(diào)代數(shù)和模論中，有許多概念是對偶的．比如投射與內(nèi)射，本質(zhì)　　與多余，內(nèi)射包與投射蓋．在形式上對偶的兩個概念在性質(zhì)上并非完全　　一致．就拿內(nèi)射包和投射蓋來說，我們都知道任何

2、一個模都有內(nèi)射包，　　但不一定有投射蓋，而要弄清楚何類模具有投射蓋，就必須對模的提升　　性質(zhì)好好研究．因此，近些年來，作為投射可補模推廣的提升模尤其受　　到廣泛關(guān)注．本文從余有限子模和有限生成子模這個角度，將提升模分　　別推廣為有限提升模和ｒ一半正則模．

3、;　　在第一部分中，我們首先給出了余有限提升模的等價刻畫．接著討　　論了余有限提升模保有限直和問題，得到余有限提升模關(guān)于有限直和封　　閉的一個充分條件．最后，我們又把余有限提升模推廣到強余有限提升　　模，并研究了它的分解性質(zhì)．　　在第二部分中，首先，

4、我們平行地描述了ｒ一半正貝４模的幾個等價定　　義．特別是當(dāng)Ｍ為投射模時，ｒ一半正則模的等價陳述．接著，我們又　　給出了可數(shù)生成ｒ一半正則模的結(jié)構(gòu)定理．最后，我們將重心轉(zhuǎn)移到ｒ一　　半正則模的保有限直和問題．　　在第三部分中，我們將介紹Ｓｅｒｒｅ—ｏ一可補模和富足Ｓｅｒｒｅ

5、一可補　　模．借助Ｓｅｒｒｅ一子范疇類，研究子模的可補和提升性質(zhì)．首先得到了　?。樱澹颍颍濉镆豢裳a模的有限直和還是Ｓｅｒｒｅ—ｏ一可補模，以及在某些條件　　下，Ｓｅｒｒｅ—ｏ一可補模的直和項也是Ｓｅｒｒｅ—ｏ一可補模．接著證明了富足　?。樱澹颍颍逡豢裳a模的同態(tài)像也是富足

6、Ｓｅｒｒｅ一可補模．最后研究了強Ｓｅｒｒｅ一　　提升模的分解性質(zhì)．　　碩士學(xué)位論文　　關(guān)鍵詞：余有限提升模，ｒ一半正則模，Ｓｅｒｒｅ—ｏ一可補模，富足Ｓｅｒｒｅ一　　可補模．&l

7、t;/b>　?、?lt;/b>　　余有限提升模和ｒ一半正則模　　ＡＢＳＴＲＡＣＴ　?。桑?ｈｏｍｏｌｏｇｉｃａｌａｌｇｅｂｒａａｎｄｍｏｄｕｌｅｓｔｈｅｏｒｙ，ｔｈｅｒｅ&

8、lt;p>　　ａｒｅ　?。恚幔欤欤?ｄｕａｌｃｏｎｃｅｐｔｓ，ｓｕｃｈ　　舾ｐｒｏｊｅｃｔｉｖｉｔｙａｎｄｉｎｊｅｃｔｉｖｉｔｙ，ｅｓｓｅｎｔｉａｌａｎｄｓｕｐｅｒｆｌｕｏｕｓｓｕｂｍｏｄｕｌｅｓ，ｉｎｊｅｃｔｉｖｅｈｕｌｌｓ　　ａｎｄｐｒｏｊｅｃｔｉｖ

9、ｅＣＯＶ６ＴＳ．Ｔｗｏｄｕａｌｃｏｎｃｅｐｔｉｎｆｏｒｍａｌｉｔｙ　?。幔颍?lt;/b>　?。睿铮?ｂｏｕｎｄｔｏｈａｖｅｃｏｒｏ　?。颍澹螅穑铮睿洌椋睿?ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ．Ｔａｋｅｉｎｊｅｃｔｉｖｅｈｕｌｌｓａｎｄｐｒｏｊｅｃｔｉｖｅ

10、　　ｃｏｖｅｒｓ　?。妫铮?ｅｘａｍｐｌｅ，ｗｅ　?。幔欤?ｋｎｏｗｔｈａｔｗｈｉｌｅｅｖｅｒｙｍｏｄｕｌｅｈａｓ　　ａ　?。椋睿辏澹悖簦椋觯?ｈｕｌｌ</p&g

11、t;　?。椋?ｄｏｅｓｎｏｔｎｅｃｅｓｓａｒｉｌｙｈａｖｅ　　８　?。穑颍铮辏澹悖簦椋觯?Ｃｏｖｅｒ．Ｉｎｏｒｄｅｒ　?。簦?ｓｅｅｗｈｉｃｈｋｉｎｄｏｆｍｏｄｕｌｅｓｈａｖｅａ　?。穑颍铮辏?/p>

12、ｃｔｉｖｅ　　ｃｏｖｅｒ，　?。椋?ｉｓｎｅｃｅ８ｓａｌ＂ｙｔｏｍａｋｅ　　ａ　?。纾铮铮?ｓｔｕｄｙｏｆＨｆｔｉｎｇｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｍｏｄｕｌｅｓ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ｉ

13、ｎ　?。颍澹悖澹睿?ｙｅａｒｓ，ａ８ａｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎ　　ｏｆｐｒｏｊｅｃｔｉｖｅｓｕｐｐｌｅｍｅｎｔｅｄｍｏｄｕｌｅｓ，ｌｉｆｔｉｎｇｍｏｄｕｌｅｓ　　ｈａｖｅａｔｔｒａｃｔｅｄｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅａｔｔｅｎｔｉｏｎｓ．Ｆｒｏｍｔｈｅａｓｐｅｃｔｓｏｆｃｏｆｉｎｉｔｅ

14、ｓｕｂｍｏｄｕｌｅｓ　?。幔睿?ｆｉｎｉｔｅｇｅｎｅｒａｔｅｄｓｕｂｍｏｄｕｌｅｓ，ｌｉｆｔｉｎｇ　?。恚铮洌酰欤澹?lt;/b>　?。幔颍?lt;/b>　　ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｔｏｃｏｆｍｉｔｅｌｉｆｔｉｎｇ&

15、lt;/p>　　ｍｏｄｕｌｅｓａｎｄｒ－ｓｅｍｉｒｅｇｕｌａｒｍｏｄｕｌｅｓｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．　?。桑?ｃｈａｐｔｅｒ１ｏｆｔｈｉｓｐａｐｅｒｗｅｆｉｒｓｔｇｉｖｅｔｈｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚａｔｉｏｎｓｏｆｃｏｆｍｉｔｅｌｉｆｔｉｎｇ　　ｍｏｄｕｌｅｓ．Ｔｈｅｎｗｅ

16、;　　ｄｉｓｃ嚼ｔｈｅ　?。穑颍铮猓欤澹?ａｂｏｕｔｆｉｎｉｔｅｄｉｒｅｃｔｓｕｌｌｍｏｆｃｏｆｉｎｉｔｅｌｉｆｔｉｎｇ　　ｍｏｄｕｌｅｓａｎｄｏｂｔａｉｎ　?。?lt;/b><p&g

17、t;　?。螅酰妫欤欤悖椋澹睿?ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｆｏｒｔｈａｔ．Ａｔｌａｓｔ，ｗｅｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｔｈｅｄｅ－　?。悖铮恚穑铮螅幔猓欤?ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｓｔｒｏｎｇ　?。悖铮妫椋睿椋簦辶颍棰颍?ｍｏｄｕｌｅｓ，ｗｈｉｃｈ缸ａｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔ／ｏｎｏｆ　?。澹铮妫椋睿椋簦?ｌｉ

18、ｆｔｉｎｇｍｏｄｕｌｅｓ．　?。桑?ｃｈａｐｅｒ２，ｆｉｒｓｔｌｙ，ｗｅｄｅｓｃｒｉｂｌｅｓｏｍｅｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓｏｆＴ－－ｓｅｍｉｒｅｇｕｌａｒ　?。恚铮洌酰欤澹螅牛幔穑澹澹椋幔欤欤ィ鳎瑁澹?Ｍ　?。椋?ａ

19、　?。穑颍铮辏澹悖簦椋觯?ｍｏｄｕｌｅ．ｔｈｅｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｓｔａｔｅｍｅｎｔｓｏｆ　?。撸В螅澹恚椋颍澹纾酰欤幔?ｍｏｄｕｌｅｓ　?。幔颍?lt;/b>　?。纾椋觯澹睿樱澹悖铮睿洌欤?，ｗｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅｔｈｅｏｒｅ

20、ｍ　?。铮?ｃｏｕｎｔａｂｌｙｇｅｎｅｒａｔｅｄ１＇－ｓｅｍｉｒｅｇｕｌａｒｍｏｄｕｌｅｓ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｗｅｓｈｉｆｔｔｏｓｔｕｄｙｔｈｅｆｉｎｉｔｅ　?。洌椋颍澹悖?ｓｕｍｓｏｆ　　Ｔ－－－ｓｅｍｉｒｅ洳ｍｏｄｕｌｅｓ．　?。桑?ｅｈａｐｅｒ３，

21、ｗｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｔｈｅｃｏｎｃｅｐｔｓｏｆＳｅｒｒｅ—ｏ－ｓｕｐｐｌｅｍｅｎｔｅｄｍｏｄｕｌｅｓ　?。幔睿?ａｍｐｌｙＳｅｒｒｅ－ｓｕｐｐｌｅｍｅｎｔｅｄｍｏｄｕｌｅｓ．ＢｙｔｈｅｍｅａｎｓｏｆＳｅｒｒｅ—ｓｕｂｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ，　?。鳎?ｄｏａｒｅｓｅａｒｃｈｔｏｗａｒｄｓｕｐｐｌｅｍｅｎｔｅｄａｎｄｌｉｆ

22、ｔｉｕｇｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　?。铮?ｓｕｂｍｏｄｕｌｅｓ．Ａｔ　?。妫椋颍螅簦鳎?ｇｅｔｔｈａｔｔｈｅ丘時ｋｄｉｒｅｃｔｓｕｍｓｏｆＳｅｒｒｅ—ｏ－ｓｕｐｐｌｅｍｅｎｔｅｄｍｏｄｕｌｅｓ　　Ｉｎ

23、　ａｒｅ　　碩士學(xué)位論文　?。螅簦椋欤?Ｓｅｒｒｅ一＠－ｓｕｐｐｌｅｍｅｎｔｅｄｍｏｄｕｌｅｓ，ａｎｄ　?。福?lt;/b>　　ｄｏｔｈｅｄｉｒｅｃｔｓｕｍｍａｎｄｏｆＳｅｒｒｅ

24、—　　ｏ－ｓｕｐｐｌｅｍｅｎｔｅｄｍｏｄｕｌｅｓｕｎｄｅｒｓｏｍｅｃｏｎｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅｎ，ｗｅｐｒｏｏｆｔｈｅｉｍａｇ鋁ｏｆａｍｐｌｙ　?。樱澹颍颍澹螅酰穑穑欤澹恚澹睿簦澹?ｍｏｄｕｌｅｓ　　８ｘｅ　?。幔欤螅?ａｍ

25、ｐｌｙＳｅｒｒｅ－ｓｕｐｐｌｅｍｅｎｔｅｄｍｏｄｕｌｅｓ．Ａｔ　?。欤幔螅?，ｗｅｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄｔｈｅｄｅｃｏｍｐｏｓａｂｌｅｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｓｔｒｏｎｇＳｅｒｒｅ—ｌｉｆｔｉｎｇｍｏｄｕｌｅｓ．　　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｃｏｆｉｎｉｔｅｌｍｉｎｇｍｏｄｕｌｅｓ，ｒ－ｓｅｍｉｒｅｇｕｌａｒｍｏｄｕｌｅｓ，Ｓｅｒｒｅ—

26、ｏ一８ｕ—　　ｐｐｌｅｍｅｎｔｅｄｍｏｄｕｌｅｓ，ａｍｐｌｙＳｅｒｒｅ－ｓｕｐｐｌｅｍｅｎｔｅｄｍｏｄｕｌｅｓ，　?。桑?lt;/b>　　湖南師范大學(xué)學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明　　本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下，獨立</p

27、>　　進行研究所取得的研究成果．除了文中特別加以標(biāo)注引用的內(nèi)容外，本　　論文不包含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫的成果作品．對本文的　　研究做出重要貢獻的個人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明．本人完　　全意識到本聲明的法律后果由本人承擔(dān)．

28、學(xué)位論文作者簽名：、麓戢∥刁年‘月／Ｅｔ　　湖南師范大學(xué)學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書　　本學(xué)位論文作者完全了解學(xué)校有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，同　　意學(xué)校保留并向國家有關(guān)部門或機構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版，允許　　論文被查閱和借閱．本人授權(quán)湖南師范大學(xué)可以將學(xué)位論文的全部或部

29、　　分內(nèi)容編人有關(guān)數(shù)據(jù)庫進行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手　　段保存和匯編本學(xué)位論文．　　本學(xué)位論文屬于　?。?、保密口，在——年解密后適用本授權(quán)書．　　２、不保密缸&

30、lt;/b>　?。ㄕ堅谝陨舷鄳?yīng)方框內(nèi)打“．ｖ／”）　　作者簽名：ｊ毛　　導(dǎo)師簽名．１眨舊毒白屯’　?。牛簦簦。欤欤海暗槟辏缭拢?lt;/p>　　日期：旆鈿１日&

31、lt;/p>　　余有限提升模和ｒ一半正則模　　第一章　　前言和預(yù)備知識　　眾所周知，投射模與內(nèi)射模在同調(diào)代數(shù)中占有十分重要的地位．就　　內(nèi)射模而言，就有不少人一直致力于

32、內(nèi)射模的推廣工作．比如：１９３６年，　　美國數(shù)學(xué)家Ｖｏｎ．Ｎｅｕｍａｎｎ在…Ｉ中首次引進了連續(xù)環(huán)的概念，借以研究連　　續(xù)幾何．之后，日本數(shù)學(xué)家Ｕｔｕｍｉ．Ｙ于１９６５年在【２】中將連續(xù)環(huán)推廣到連　　續(xù)模．從此以后，便吸引了更多優(yōu)秀的數(shù)學(xué)工作者置身于其中．因為連　　續(xù)模是比

33、內(nèi)射模更廣泛的一類模，并且它在實、復(fù)伊一代數(shù)以及連續(xù)幾　　何學(xué)的研究中起到了很關(guān)鍵的作用．因此該分支得以建立并蓬勃發(fā)展起　　來．　　另一方面，就投射模而言，我們也希望能對偶地建立起一整套理論．　　事實上，德國人ＳａａｄＨ．Ｍｏｈａｍ

34、ｅｄ和ＢｒｕｎｏＪ．Ｍｕｌｌｅｒ于１９８５年在ｆ３】中給出　　了提升模的概念，并以此為基礎(chǔ)又定義了離散模和擬離散模，它們就是　　連續(xù)模與擬連續(xù)模的對偶描述．既然如此，對于這方面的研究也必定具　　有很高的價值．在他們的文章中，對于擬離散模的分解理論已經(jīng)得到完　　滿解決，即

35、：任何—個擬離散模都可以分解成為中空模的直和．倘若該　　分解還是補直和項分解的話，則分解在同構(gòu)意義下唯一．同時給出了擬　　離散模滿足ｅｘｃｈａｎｇｅ性質(zhì)和可消性質(zhì)的充要條件．在離散模這部分則主　　要研究了其自同態(tài)環(huán)的相關(guān)性質(zhì)．近些年來，提升模，離散模，擬離散模　　這三大模

36、類逐漸成為了環(huán)與模方向研究的一個熱點．特別是環(huán)與模的提　　升性質(zhì)，比如ＤｅｒｙａＫｅｓｌｄｎ在【４】【５ｌ【６】中先后研究了提升模、弱提升模、　?。拢ǎ?，ｘ）．提升（離散、擬離散）模，很好地解決了提升模及其推廣形式下　　的保有限直和條件．而Ｙｏｓｕｋ．ｋｕｒａｔｏｍｉ和Ｎｏｙａｎ則于２００５年在用中研究<

37、/p>　　了提升模的無限直和問題，王永鐸和丁南慶則在【８】中將提升模推廣為廣　　義提升模，得到了一系列漂亮的結(jié)果．　　在第一部分中，我們將提升模進行了另一種推廣，即引入了余有限提　　碩士學(xué)位論文　　升模的概

38、念，從研究模的一般方法開始，我們首先給出了余有限提升模的　　等價刻畫｜見定理２．１４］．接著討論了余有限提升模保有限直和問題，得到　　余有限提升模關(guān)于有限直和封閉的一個充分條件【見命題２．１６］．最后，我　　們又把余有限提升模推廣到強余有限提升模，并研究了它的分解性質(zhì)．

39、　在第二部分中，我們將半正則模定義中的Ｊａｃｏｂｓｏｎ根改為預(yù)根，從　　而定義了一類新的模即：　?。蛞话胝齽t模．目的是從更一般的函子中來探　　討這類模所具有的良好性質(zhì)．首先，我們平行地描述了＇－一半正則模的幾　　個等價定義［見定理３．４】．特別是當(dāng)Ｍ為投射模時，</

40、p>　　ｒ一半正則模的等價　　陳述以及由此所推導(dǎo)出來的幾個命題顯得更為漂亮和重要．接著，我們　　又給出了可數(shù)生成ｒ一半正則模的結(jié)構(gòu)定理【見命題３．１１１．最后，我們將　　重心轉(zhuǎn)移到ｒ一半正則模的保有限直和問題。很遺憾，它一般不具有有限</p&

41、gt;　　直和封閉性，這一點可以從該部分的例子中得到說明．既然如此，轉(zhuǎn)而　　研究其在什么情況下保有限直和就成為了我們最后的工作．　　在第三部分中，我們將介紹Ｓｅｒｒｅ—ｏ一可補模和富足Ｓｅｒｒｅ一可補　　模．借助Ｓｅｒｒｅ一子范疇類，研究子模的可補和提升性質(zhì)．首先得到了

42、　?。樱澹颍颍濉镆豢裳a模的有限直和還是Ｓｅｒｒｅ—ｏ一可補模【見定理４．７ｌ，以及　　在某些條件下，　?。樱澹颍颍濉镆豢裳a模的直和項也是８ｅｒｒｅ—ｏ一可補?！疽?lt;/p>　　命題４，１１］．接著證明了富足８ｅｒｒｅ一可補模的同態(tài)像也是富足Ｓｅｒｒｅ一可補<

43、;/p>　　模．最后研究了強Ｓｅｒｒｅ一提升模的分解性質(zhì)【見定理４．１９１．　　下面我們先介紹一下本文所要用到的一些基本概念和符號．在本文　　中，Ｒ表示有單位元的結(jié)合環(huán)，Ｍｏｄ－Ｒ表示酉右Ｒ－模，設(shè)Ｍ∈Ｍ０ｄ—Ｒ，Ｎ≤　?。捅硎荆螢椋偷淖幽?，Ⅳ≤ｏＭ表示Ｎ為Ｍ的直和項．ＨｏｍＲ（Ｍ，

44、Ｎ）　　表示Ｍ到Ｎ的全體Ｒ－同態(tài)構(gòu)成的群，ＥｎｄＲ（Ｍ）表示Ｍ的自同態(tài)群．其　　它相關(guān)定義及符號參看（【９】【１０】）．　　定義１．１一個子模Ｎ稱為Ｍ的多余子模，是指對于Ｍ的任意真子　　模Ｌ，Ⅳ＋Ｌ≠Ｍ記為Ⅳ《Ｍ．

45、;　?。玻?lt;/b>　　壘蔓墾墨莖莖塑：＝蘭堊型莖　　引理１．２【１ｑ設(shè)Ｍ∈Ｍｏｄ—Ｒ，Ｋ≤Ｎ≤ＭＨ≤Ｍ則；　　（曲Ｎ《Ｍ當(dāng)且僅當(dāng)Ｋ《ＭⅣ／Ⅳ《Ｍ／Ｋ　?。ǎ猓龋恕叮彤?dāng)且僅當(dāng)日《尬Ｋ《Ｍ　?。ǎ悖┤绻海鸵唬蕖?/p>

46、為模同態(tài)，Ｎ《Ｍ，則ｆ（Ｎ）《＾∥　?。ǎ洌┤绻恕叮?，則Ｋ《Ｍ　?。ǎ澹┤绻簟芪阃袆tＫ《Ｍ當(dāng)且僅當(dāng)Ｋ《Ｎ　　（ｆ）如果Ｍ＝腦。尬，所《Ｍ，配《％，則所。鮑《ＭｘｏＭ２當(dāng)　　且僅當(dāng)虬《％，Ｋ２《Ｍ２　?。ǎ纾遥福洌ǎ停┦牵偷?/p>

47、所有多余子模的和　?。ǎ瑁┤绻巍缎駝tＭ是有限生成的當(dāng)且僅當(dāng)Ｍ／Ｎ是有限生成的　　引理１．３Ｉｘ２］設(shè)Ｍ∈Ｍｏｄ—Ｒ，Ｕ≤Ｍ則以下條件等價：　?。ǎ幔┐嬖谥焙晚棧亍堋＃褪沟茫亍逝洌郑叮停?lt;/p>　?。ǎ猓┐嬖谥焙晚棧亍?。Ｍ以及Ｍ的子模Ｙ，滿足ｘ￡仉Ｕ＝

48、　?。伲佟叮停?lt;/b>　?。ǎ悖┐嬖诜纸猓停剑兀铮亍?，使得ｘ∈阢ｘ，ｎＵ《Ｘ，　?。常?lt;/b>　　余有限提升模和ｒ一半正則模　　第二章</p

49、>　　余有限提升模　　在介紹余有限提升模之前，我們先來看幾個概念．如果Ｍ≠０，且Ｍ　　的每個真子模都是Ｍ的多余子模，則稱Ｍ為ｈｏｌｌｏｗ模．如果Ｍ的所有真　　子模的和還是Ｍ的真子模，則稱Ｍ為ｌｏｃａｌ模．如果Ｎ≤Ｍ，Ｍ／Ｎ有限生

50、　　成，則稱Ｎ為Ｍ的余有限子模．若對于任意，∈Ｅｎｄ（Ｍ），都有，（∽≤ｉＶ，　　則我們稱Ｎ為Ｍ的全不變子模．　　定義２．１設(shè)Ｎ≤Ｍ，Ｋ≤Ｍ，如果Ｋ為妒＝｛∥≤ＭＩⅣ＋Ｍ’＝Ｍ｝　　中的極小元（或Ｍ＝Ⅳ＋Ｋ，ⅣｎＫ《Ｋ），則稱Ｋ為Ｎ在Ｍ中的補子模．

51、　　進一步，倘若Ｍ的任意子模在Ｍ中都有補子模，則稱Ｍ為可補模．　　定義２．２【”】如果對于Ｍ的任意子模Ａ，都存在Ｍ的直和項Ｋ，使得　?。恕埽?，Ａ／Ｋ《Ｍ／Ｋ（或存在分解Ｍ＝艦ｏＭ２，使得ＭＩ　　ｓ　?。?，Ａｎ尬《&

52、lt;/b>　?。停瑒t稱Ｍ為提升模（或滿足Ｄ－）．　　定義２．３１ｘ４１設(shè)Ｍ∈Ｍｏｄ—Ｒ，如果Ｍ的任意余有限子模都有補子　　模，則稱Ｍ為余有限可補模，甚至該補子模為Ｍ的直和項，則稱Ｍ為　　。一余有限可補模．

53、　　定義２．４如果對于Ｍ的任意余有限子模Ａ，都存在Ｍ的直和項Ｋ，使　　得Ｋ≤Ａ，Ａ／Ｋ《Ｍ／Ｋ則稱Ｍ為余有限提升模．　　很明顯提升模都是余有限提升模，但是反過來不一定成立．比如，　?。咽怯嘤邢尢嵘?，但不是提升模．　　定義２．５ＩＳ］設(shè)Ｂ≤Ａ≤Ｍ，如

54、果Ａ／Ｂ《Ｍ／Ｂ，則Ｂ稱為Ａ的余本質(zhì)　　子模．若Ａ沒有真的余本質(zhì)子模，則稱Ａ為Ｍ的余閉子模．例如：Ｍ的　　每個直和項就是Ｍ的余閉子模．　　定義２．６Ｉｓ］如果Ａ≤Ｍ，ＢｓＡ，Ｂ為Ａ的余本質(zhì)子模，且Ｂ為Ｍ的　　一５．

55、　　碩士學(xué)位論文　　余閉子模，則稱Ｂ為Ａ在Ｍ中的余閉包．例如：提升模的每個子模都有　　一個余閉包．　　引理２．７設(shè)０≠Ｍ∈Ｍｏｄ—Ｒ，Ｕ為Ｍ的一個全不變子模，如果　　Ｍ＝Ｍｏ

56、％，則Ｕ＝ＵｎＭｏＵｎＭ２．　　證明見（【１５．引理２．４１）．　　命題２．８設(shè)０≠Ｍ∈Ｍｏｄ—Ｒ，Ｕ為Ｍ的一個全不變子模，如果Ｍ是　　。一余有限可補模，則Ｍ／Ｕ是。一余有限可補模，甚至，若Ｕ還是Ｍ的　　余有限直和項，則Ｕ是。一余有限可補模．<

57、;p>　　證明設(shè)Ｍ是ｏ～余有限可補模，Ｌ／Ｖ是Ｍ／Ｕ的余有限子模，則Ｌ是　?。偷挠嘤邢拮幽＃捎冢褪?。一余有限可補模，故存在Ｎ≤Ｍ，Ⅳ，≤Ｍ，使　　得Ｍ＝ⅣｏⅣ，，Ｍ＝Ｌ＋Ⅳ＇ＬｎＮ《Ⅳ再由補子模的定義可得，（Ｎ＋Ｕ）／Ｕ　　是Ｌ／Ｕ在Ｍ／Ｕ中的補子模．應(yīng)用引理２．７，我們有Ｕ＝ＵＮＮｏＵｎⅣ，．而<

58、/p>　?。á簦荆睿á?，＋Ｕ）＝Ｕ＋（Ｎ＋Ｕ）ｎＮ’＝Ｕ＋（Ｎ＋ＵｎＮ＋ＵｎⅣ，）ｆｌⅣ，＝　?。眨危睥簦眨睿巍健姿裕á簦郑郑铮á?，＋Ｕ）／Ｕ＝Ｍ／Ｖ，Ｍ／Ｕ是　　。一余有限可補模．現(xiàn)在設(shè)Ｖ是Ｕ的余有限子模，則Ｖ也是Ｍ的余有　　限子模．因為Ｍ是。一余有限可補模，則

59、必存在Ｋ　?。?lt;/b>　?。?，Ｋ’≤Ｍ，使得　?。停剑耍溃耍?，Ｍ＝ｙ＋耳，ＶＮＫ《Ｋ，于是Ｕ＝ｙ＋ｕｎⅣ，Ｕ＝ＵｏＫＥＢＵＮＫ’．　　所以ｙｆｌ（ＵｆｌＫ）《ＵｎＫ（見ｆ１６】）．因此ＵｎＫ≤。Ｕ是Ｖ在Ｕ

60、中的補子　　模，Ｌｒ是。一余有限可補模．　　推論２．９設(shè)Ｍ是。一余有限可補模，則：　?。ǎ保停校幔洌ǎ停?，Ｍ／ＳｏｃＣＭ），Ｍ／Ｚ（Ｍ）都是。一余有限可補模．　?。ǎ玻┤绻停遥幔洌ǎ停┦怯邢奚傻?，則ＭＩＲａｄＣＭ）為半單模．<p&g

61、t;　　證明（１）因為ＲａｄＣＭ），ｓｏｃ（Ｍ），Ｚ（Ｍ）都是Ｍ的全不變子模，則（１）顯　　然成立．　　（２）因為Ｍ／Ｒａｄ（Ｍ）是有限生成的，所以Ｍ／Ｒ．ｄ（Ｍ）的任意子模都　　是余有限子模．設(shè)Ｌ／ｔｋｄ（Ｍ）≤Ｍ／Ｊ猁（Ｍ），則存在Ｌ／Ｐ以ｄ（Ｍ）的補子

62、;　　一６一　　余有限提升模和ｒ一半正刷模　　模ＵＩｇ叫（Ｍ），但Ｒａｄ（ＭＩＲａｄ（Ｍ））＝０，因此＂Ｍ／Ｒ以（∽＝Ｌ／Ｒａｄ（Ｍ）ｏ　?。祝遥幔洌ǎ停?，于是Ｍ／Ｒａｄ（Ｍ）為半單模．　　命題２．１０設(shè)Ｍ＝％ｏ

63、尬，以下說法等價。　?。ǎ保┺问寝我煌渡淠?lt;/p>　?。ǎ玻τ冢偷娜我猓停剑停玻蔚淖幽＃?，存在∥≤Ⅳ＇使得Ｍ＝　　Ｍ２固Ｍ１　　證明見（【１７．引理２．６】）．　　我們現(xiàn)在考慮以下性質(zhì)：</

64、p>　?。?）當(dāng)Ｍ＝帆ｅＭ２時，則Ｍ是％一投射模，＾如是尬一投射模．　?。ǎ樱樱校┤绻＃偷娜我鈨蓚€直和項的和仍是Ｍ的直和項．　　推論２．１１設(shè)Ｍ是。一余有限可補模且滿足（＋）性質(zhì)，則Ｍ是一個　　余有限提升模．<p&g

65、t;　　證明由命題２．１０及引理１．３可得．　　引理２．１２設(shè)Ｍ∈Ｍ０ｄ—Ｒ且具有（ＳＳＰ）性質(zhì)，Ｕ≤Ｍ，Ｋ≤。眠Ｎ　　為Ｍ的極大子模，Ｋ為Ｎ的補子模．如果Ｋ＋Ｕ有—個補子模Ｌ≤。尬　　則Ｕ有一個補子模是Ｍ的直和項．　?。?lt;/b></p

66、>　　證明如果ＫＡ（Ｕ＋Ｌ）∈ＫＡＮ《Ｋ，因為ＵＡ（Ｌ＋Ｋ）ｓＬＡ（Ｋ＋∽＋Ｋｎ　　（Ｌ＋Ｕ）《Ｌ＋Ｋ，以及Ｍ具有（ＳＳＰ）性質(zhì)，則Ｌ＋Ｋ≤。Ｍ是Ｕ的補子模．　　現(xiàn)在假設(shè)ＫＡ（Ｌ＋Ｕ）譬ＫＡＮ，又因為Ｋ／ＫＡＮ皇暇＋Ｊ】ｖ）／Ｎ＝馴Ⅳ＇ＫＡＮ　　是Ｋ的極大子模，從而（ＫＡＮ）＋ＫＡ（

67、Ｌ＋Ｕ）＝托然而ＵＮＬ≤何＋叨ＮＬ《　?。?，ＫｎⅣ《Ｍ．所以Ｍ＝Ｌ＋Ｕ＋Ｋ＝Ｌ＋Ｕ＋（ＫｎⅣ）＋Ｋｎ（Ｌ＋∽＝　　二＋ｕ＋ＫｎＮ＝己＋礦即Ｌ為ｕ在Ｍ中的補子模．　　緊接著，我們將給出余有限提升模的等價刻畫，對于一個模Ｍ，ｒ＝　?。耍桑耍印＃?，且Ｋ為Ｍ的某個極大子模的補子

68、模｝，ｃ幽（Ｍ）＝∑ＫｅｒＫ．假　　如Ｆ＝ｇ，則ｃｄｓ（Ｍ）＝０．在本文中，我們總假定ｒ≠ｏ．設(shè)｛以）旋＾為Ｍ　　的ｌｏｃａｌ子模類，且厶ｓ。Ｍ（Ｗ∈＾），記Ｌｏｃ。Ｍ＝∑＾ＥＡ厶．　　．７．　　碩士學(xué)位論文<

69、/b>　　定理２．１３設(shè)Ｍ∈Ｍｏｄ—Ｒ且具有（ｓｓＰ）性質(zhì)。以下說法等價：　?。ǎ保褪?。一余有限可補模　?。ǎ玻偷拿總€極大子模都有一個補子模為Ｍ的直和項　?。ǎ常停停螅ǎ停o極大子模　　證明類似于（１１８．定理２．１

70、６１）以及利用推論２．１１易得．　?。ǎ保┬粒ǎ玻╋@然．　?。ǎ玻剑澹澹ǎ常┘僭O(shè)Ｎ／甜ｓ（Ｍ）為Ｍ／斑ｓ（Ｍ）的一個極大子模，則Ｎ是Ｍ的　　極大子模．由（２）知，存在Ｎ的補子模Ｋ∈Ｆ．因此Ｋ≤ｃｄｓ（Ｍ）≤Ⅳ，矛　　盾．</p

71、>　?。ǎ常剑ǎ保┰O(shè)Ｕ是Ｍ的余有限子模，則Ｕ＋ｏ如（Ｍ）是Ｍ的余有限子　　模．如果＾∥（Ｕ＋ｃｄｓ（Ｍ））≠０，則必存在有限生成模Ｍ／（Ｖ＋ｃｄｓ（Ｍ））的一個　　極大子模Ｎ／（Ｕ＋ｃｄｓＣＭ））．于是Ｎ為Ｍ的極大子模，Ｎ／耐ｓ（Ｍ）為Ｍ／缸ｓ（Ｍ）　　的極大子模，這恰與（３）矛盾

72、．放Ｍ＝Ｕ＋甜ｓ（Ｍ），由于Ｍ／Ｕ是有限生　　成的，不妨設(shè)Ｍ＝Ｕ＋舭１＋硒＋…＋冗‰．其中≈＝％＋ｃｉ，ｕｉ∈Ｅ　?。悖椤?lt;/b>　　ｃｄｓ（Ｍ），ｉ＝１，２，…ｍ．而每個島都包含在ｒ中有限個模的和中，所以可找　　到％，鮑，…虬∈Ｆ，使得Ｍ＝

73、Ｕ＋放十…＋致．而Ｍ＝（Ｕ＋／Ｇ＋…＋　　玩一１）＋以有一個補子模０，則由引理２．１２知，Ｕ＋／ｑ＋…＋‰一ｌ有一個　　補子模為Ｍ的直和項．反復(fù)利用該引理，我們可得Ｕ有一個補子模為Ｍ　　的直和項．　　定理２，１４設(shè)Ｍ∈Ｍｏｄ—Ｒ且具有

74、（ＳＳＰ）和（?）性質(zhì)，則以下說法等　　價：　?。ǎ保褪怯嘤邢尢嵘?lt;/p>　?。ǎ玻τ冢偷娜我鈽O大子模Ａ，都存在分解Ｍ＝尬ｏ％，使得尬≤　?。?，＾ｎ％《Ｍ

75、?。ǎ常停悖洌螅ǎ停┲袩o極大子模　?。ǎ矗停蹋铮?。Ｍ中無極大子模　　．８．　　余有限提升模和ｒ一半正則模　　證明（１）號（２）由余有限提升模的定義可得．　?。ǎ玻┝睿ǎ常└鶕?jù)定理２．１

76、３．　?。ǎ常┵猓ǎ矗┮驗槊總€極大子模的補子模都是ｌｏｃａｌ模，所以有ｃｄｓ（Ｍ）Ｓ　?。蹋铮悖澹停谑牵ǎ矗┏闪ⅲ?lt;/p>　?。ǎ矗剑ǎ保?yīng)用（【１４．定理２．３】）以及推論２．１１可得．　　推論２．１５設(shè)Ｍ為投射模且具有（ＳＳＰ）性質(zhì)，則以下說法等價：

77、　?。ǎ保褪牵悖铮∫话胪耆?lt;/p>　?。ǎ玻褪恰Ｒ挥嘤邢蘅裳a模　?。ǎ常偷拿總€單模都有一個投射蓋　?。ǎ矗褪怯嘤邢尢嵘?lt;/p>　?。ǎ担τ冢偷娜我鈽O大子模Ａ，都存在分解Ｍ＝尬ｏＭ２，使得Ｍ１?蘭

78、;　?。粒蓿睿停病叮?lt;/b>　　（６）Ｍ／ｃｄｓ（Ｍ）中無極大子模　　（７）Ｍ／ＬｏｃｅＭ中無極大子模　　證明（１）§（２）§（３）｛爭（４）（見ｆ１９．推論２．２和定理２．３】）　?。ǎ矗?#167;（５）兮（６）甘（７）由投射模滿足（

79、ｔ）性質(zhì)可證。　　眾所周知，提升模的有限直和不一定還是提升模，同樣地余有限提　　升模也并非關(guān)于直和封閉．比如ｔ　　乙模Ｍ＝糾２Ｚ　　ｏ　?。福诰筒皇怯?/p>

80、有限　　提升模（見【８】），但因為Ｚ／２Ｚ，Ｚ／ＳＺ均為ｈｏｌｌｏｗ模，所以它們都是余有限提　　升模．既然如此，接下來我們將給出余有限提升模關(guān)于有限直和封閉的　　一個充分條件．　　命題２．１６設(shè)Ｒ為Ｎｏｅｔｈｅｒｉｓｎ環(huán)，Ｍ＝Ｍ１０Ｍ

81、２０…ｏ＾厶∈Ｍ甜一Ｒ，　　且Ｍ的每個余有限子模都是全不變子模，如果艦“＝１，２，…”）是余有限　　提升模，則Ｍ也是余有限提升模．　　證明設(shè)Ｕ是Ｍ的一個余有限子模，由引理１．７知，Ｕ＝０毫，ＷｎＭ，）．　　因為Ｒ為Ｎｏｅｔｈｅｒｉａｎ環(huán)，Ｍ，／Ｕｎ尬掣（Ｕ＋Ｍｄ／Ｖ≤Ｍ／

82、Ｕ，所以Ｕｎ帆也　?。梗?lt;/b>　　碩士學(xué)位論文　　是艦的一個余有限子模．由于尬為余有限提升模，故存在甄≤。Ｍ，　　使得（Ｕｎ必）／甄《Ｍ／Ｋ，，ｉ＝１，２，…仉因此Ｕ／ｏ警１噩《Ｍ／ｏ饕ｌ托，那<

83、;/p>　　么Ｍ也是余有限提升模．　　定義２．１７如果Ｍ的子模格滿足分配律，則稱Ｍ為分配模．　　定義２．１８設(shè)蠅，尬∈Ｍｏｄ—Ｒ，并滿足條件；如果工ｌ／Ｎ１型如／Ｍ，胍ｓ　　Ｌｔ≤脫Ｏ＝１，２），則Ｌｌ＝Ｎ１，Ｌ２＝Ｎ２．此時我們稱尬與％為無關(guān)對．<p&g

84、t;　　推論２．１９設(shè)Ｒ為Ｎｏｅｔｈｅｒｉａｎ環(huán)，Ｍ＝胍ｏＭ２０…ｏ帆為分配模　?。ɑ颍团c颶為無關(guān)對，ｉ≠Ｊ∈０＝１，２，…ｎ｝），如果壇０＝ｌ，２，…ｎ）是余　　有限提升模，則Ｍ也是余有限提升模．　　證明由（【２０】）的結(jié)論４以及分配模的定義，我們有Ｕ＝０：。（ｇｒｉＭ，）．<p

85、>　　因此根據(jù)命題２．１６知，Ｍ也是余有限提升模．　　受到命題２．８的啟發(fā)，我們不禁要問余有限提升模的商模是否為余有　　限提升模，假如答案是否定的，我們又可以對滿足上述條件的模的性質(zhì)　　作進一步的探討．　　例（【１５】）：設(shè)Ｒ為

86、交換局部環(huán)但不是賦值環(huán)，竹≥２．則必存在一個　　有限表現(xiàn)的不可分解模Ｍ＝艫／Ｋ，且它的生成元的個數(shù)不小于ｎ，于是　　形是—個余有限提升模，但Ｍ卻不是．　　定義２．２０如果Ｍ的任意商模都是余有限提升模，則稱Ｍ為強余有　　限提升模．<

87、;/p>　　顯然強余有限提升模都是余有限提升模，但上例說明反過來不真．最　　后，我們想用強余有限提升模的分解性質(zhì)來作為本部分的結(jié)束．當(dāng)然，在　　給出定理之前，我們需要先介紹文獻【２１１［２２１中的幾個概念和兩個引理．　　定義２．２１如果Ｒａｄ（Ｍ）＝０，則稱Ｍ為半本原模．若Ｍ的任何商模

88、　　都是半本原模，則稱Ｍ為完全半本原模．　　．１０．　　余有限提升摸幫ｒ一半正剛稹　　定義２．２２｛Ａ－，也…，丘）為Ｍ的真子模有限集，若對于任意１≤　?。耄螅ザ加校痢睿恚粒较杽t我僻彌｛Ａ

89、ｌ，如…，Ａ）是ｍｅ酶－ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ．　　若無限真子模集的任意有限子集都是ｍｅｅｔ－ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ，則稱該無限集為　?。恚澹澹簦椋睿洌澹穑澹睿洌澹睿簦?lt;/p>　　對偶于Ｇｏｌｄｉｅｄｉｍｅｎｓｉｏｎ，下面我們將介紹ｄｕａｌ　　Ｇｏｌｄｉｅｄｉｍｅｎｓｉｏｎ

90、．　　定義２．２３若Ｍ中不存在無限ｍｅｅｔ－ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ真子模集，則稱Ｍ具　　有有限ｄｕａｌ　?。牵铮欤洌椋?lt;/b>　?。洌椋椋钊眨欤拢椋铮睿洖椋洌椋怼ǎ停剑?，且ｎ＝Ｓｕｐ｛ｋｌＬ為Ｍ的&

91、lt;/p>　?。恚澹澹簦椋睿洌澹穑澹睿洌澹睿艏痰膭轂槠撸?lt;/p>　　定義２，２４設(shè)對于任意Ｍ的無限ｍｅｅｔ４ｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ真子模集｛Ａｌ，也…｝　　都存在ｎ，使得Ｖｋ≥竹，Ｍ／山為完全半本原模，則稱Ｍ為ｅｖｅｎｔｕａｌｌｙ完全　　半本原的．

92、　　注：由以上定義不難證明ｅｖｅｎｔｕａｌｌｙ完全半本原模的直和項仍然是　?。澹觯澹睿簦酰幔欤欤耆氡驹＃?lt;/p>　　引理２．２５假設(shè)ⅣｓＭ，Ｋ是Ｎ在Ｍ中的余閉包，Ｍ／Ｋ為半本原　　模，則Ｎ是Ｍ的一個余閉子模．　　證明因為Ⅳ／Ｋ《Ｍ

93、／Ｋ，Ⅳ／Ｋ≤Ｒａｄ（Ｍ／Ｋ）＝０．所以Ｎ＝置　　引理２．２６設(shè)Ｎ為Ｍ的一個菲余閉的極大子模，Ｋ為Ｎ在Ｍ中的　　余閉包，則Ｍ／Ｋ是ｈｏｌｌｏｗ模．　　證明因為Ｎ是非余閉的，所以Ｋ為Ｎ的真子模．任?。停说恼孀?lt;/p>　　模Ｌ／Ｋ．設(shè)Ｌ／Ｋ＋研Ｋ＝Ｍ／Ｋ，又因為Ｎ為Ｍ的極大子模，Ｌ

94、為Ｍ的真　　子模，以及Ⅳ／Ｋ《Ｍ／Ｚ：．我們將有Ⅳ＋Ｈ＝Ｍ．從而Ⅳ／Ｋ＋Ｈ／Ｋ＝Ｍ／Ｋ，　　再次利用Ⅳ／Ｋ《Ｍ／Ｋ，可得Ｈ／Ｋ＝ＭＩＫ，故Ｍ／Ｋ是ｈｏｌｌｏｗ模．　　定理２．２７設(shè)Ｍ為強余有限提升模，且Ｒａｄ（Ｍ）《Ｍ．如果Ｍ是　?。澹觯澹睿簦酰幔欤欤耆氡驹＃瑒tＭ可

95、分解為Ｍ＝耳ｏＮ，ｄｉｍ‘（叼＜ｏｏ，Ｋ滿　　足刪（Ｋ）《Ｋ，且Ｋ不含非余閉的極大子模．　　碩士學(xué)位論文　　證明因為ｈａｄ（：＾力《Ｍ則Ｍ有極大子模．如果Ｍ的每個極大子模　　都是余閉的，結(jié)論已證畢．否則，設(shè)尬為Ｍ的一個非余閉極大子模，

96、由于　?。蜑閺娪嘤邢尢嵘?，于是存在甄≤毋曬，使得０≠Ｍ／所《馴托，Ｍ；　　凰ｏⅣ１．現(xiàn)在如果甄有一個非余閉極大子模％，則存在‰ｓ擊尬，使　　得０≠％／鮑《ＫＵＫ２，尬＝Ｋ２ｏⅣ２．重復(fù)以上過程，我們說它必在有　　限次后終止．倘若一直進行下去，則易知｛廄，Ⅳ１０％，Ⅳ１

97、０Ⅳ２０Ｋｓ，…）　　是一個Ｍ的無限ｍｅｅｔ—ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ子模集．而Ｍ是ｅｖｅｎｔｕａｌｌｙ完全半本原　　模．所以存在ｍ，使得Ｖｎ≥ｍ，心壘ＭＩ（Ｎ，ｏ…ｏ％一ｌｏ‰）是半本原　　的．又因為心蘭％一。／％，由引理２．２５知，＾厶在‰一ｌ中余閉．這恰好　　與＾霸

98、不是％一，的余閉子模矛盾．另一方面，玩≤。Ｍ，Ｒａｄ（Ｍ）《尬　　則?。洌ǎィ叮ィ俑鶕?jù)引理２．２６，批為ｈｏＵｏｗ模，故ｄｉｍ＋（腿）＝１，從而　　Ｍ＝Ⅳ１０…ｏ風(fēng)。耽＝ＮｏＫ，Ｎ＝Ⅳｌｏ…ｏ％，Ｋ＝％，ｄｉｍ＊（Ｎ）＜ｏ。，　　且Ｋ不含非余閉的極大子模．<b&

99、gt;　　．１２．　　余有限提升模和ｒ一半正則模　　第三章７－一半正則模　　受到第一部分余有限提升模定義的啟發(fā)，我們不禁會想到如果將余　　有限子模改為有限子模，能否對偶地得到一系列的結(jié)論．事實上，這就是　?。危?/p>

100、ｃｈｏｌｓｏｎ于１９７６年提出的半正則模的概念．時值今日，我們已經(jīng)得到了　　許多與之相關(guān)的同調(diào)和非同調(diào)性質(zhì)．而本部分正是沿著這個思路，通過　　預(yù)根的引入，定義了ｒ一半正則模，并試圖在更廣泛和抽象的函子中研究　　模的提升性質(zhì)．　　定義【

101、籃】３．１我們將ＭＤｄ—Ｒ到Ｍｏｄ—Ｒ的函子ｒ稱為一個預(yù)根，如　　果它滿足以下兩個條件，　?。ǎ保颍ǎ危埽?，ＶＮ∈Ｍｏｄ—只　?。ǎ玻妫孩?，一Ⅳ為Ｒ一模同態(tài)，則，（ｒ（Ⅳ７））≤ｒ（Ⅳ），且ｒ（，）為ｆ在７．（Ⅳ，）　　上的限制．

102、;　　，　　由此易知，如果Ｋ≤擊Ⅳ，則Ｋｎｒ（Ｍ＝ｒ（Ｋ）．　　定義３．２設(shè)Ｍ∈Ｍｏｄ—Ｒ，ｆ為Ｍｏｄ—Ｒ中的一個預(yù)根，如果對于任　　意ｘＲ≤Ｍ，都存在存在分解Ｍ＝ＰｏＱ，使得Ｐ≤嘏，ｘＲＮＱ∈ｒ（Ｍ），則&l

103、t;p>　　稱Ｍ為ｒ一半正則模．若嘞為ｒ一半正則模，則稱Ｒ為ｒ一半正則環(huán)．　　顯然，當(dāng)ｒ為Ｊａｃｏｂｓｏｎ根時，則ｆ一半正則模即為半正則模，ｒ一半正則　　環(huán)為半正則環(huán)．　　引理３．３設(shè)Ｍ∈Ｍｏｄ—Ｒ’Ｋ≤。尬如果Ｍ為＿ｒ一半正則模，貝?。?lt;/p><

104、p>　　也為ｒ一半正則模．　?。?lt;/b>　　證明任?。?lt;/b>　?。?lt;/b>　　Ｋ，則存在Ｐｓ尬口≤ＭＭ＝ＰｏＱ，使得Ｐ≤<

105、/p>　?。遥遥睿选辏颍ǎ停?，由模律可知，Ｋ＝Ｐｅ（ＫｎＱ），而ｚＲＡＫＮＱ＝ｘＲＡＱ￡　　ｒ（Ｍ），Ｋｎｒ（Ｍ）＝下（Ⅳ），因此捕ＮＱ∈ｒ（Ｋ），Ｋ也為ｆ一半正則模．　　定理３．４設(shè)Ｍ∈肘甜一Ｒ，則以下說法等價ｔ　?。保场?lt;/b></p&g

106、t;　　碩士學(xué)位論文　?。ǎ保蜑椋蛞话胝齽t模　?。ǎ玻τ冢偷娜我庥邢奚勺幽＃?，存在分解Ｍ＝ＰｏＱ，使得Ｐ５　　Ⅳ，ⅣｎＱｃ】ｒ（聊　?。ǎ常τ冢偷娜我庋h(huán)子模Ｎ，存在，２＝，∈Ｅｎｄ（Ｍ），使得ｆ（Ｍ）∈

107、　?。?，（１一似Ⅳ）ｃｆ（Ｍ）　?。ǎ矗τ冢偷娜我庥邢奚勺幽＃?，存在，２＝，∈Ｅｎｄ（Ｍ），使得　?。妫ǎ停盛簦ǎ币?，）（Ⅳ）∈ｒ（＾ｆ）　　當(dāng)Ｍ為投射模時，（１）一（６）等價：　?。ǎ担τ谌我猓剩?，存在口∈Ｈａｍ冠（

108、托腳，使得（ｎｚ）２＝一以及　?。幔ǎ海颍剩颍ǎ停?lt;/p>　　（６）對于任意ｚ∈尬存在，ｙ：Ｍ—ｚ冗，使得ｆ＝７，，ｙ（Ｍ）為投射模，　?。唬罚ㄐl(wèi)）∈ｒ（．＾，）　　證明（１）營（２）類似于（［１６】），但為了完整性起見，我們將給出證明．<

109、p>　?。ǎ玻┬粒ǎ保╋@然．　?。ǎ保┬粒ǎ玻├脭?shù)學(xué)歸納法，當(dāng)Ｎ為Ｍ循環(huán)子模時，則結(jié)論成立．假如　　Ｎ為Ｍ的ｎ一生成子模，令Ｎ＝Ｆ＋Ｇ，Ｆ為ｍ一１）～生成子模，Ｇ為循環(huán)子　　模，由歸納假設(shè)可知，存在分解Ｍ＝１＇１ｅＱ，，使得只≤只ＦｎＱｌ∈Ｔ（Ｍ）．　　考慮自然投

110、射ｈ：Ｍ—Ｑ１，因為Ｐｌ∈Ｆ’馬∈Ⅳ，我們有Ｎ＝Ｐ１０ｈ（Ｎ）＝　?。校?lt;/b>　?。铮ǎ瑁ǎ疲瑁ǎ牵?，Ｆ＝只ｏ＾（Ｆ），ｈ（Ｎ）＝ＮｎＱｌ，ｈ（Ｆ）＝ＦｎＱ１．又因為　?。瑁ǎ牵椋偷难h(huán)子模，則必存在分解Ｍ＝ｔ＂２

111、;　?。?lt;/b>　?。眩沟茫隆剩瑁ǎ茫?lt;/p>　?。瑁ǎ危?Ｑｌ，ｈ（Ｇ）ｎＱ２∈ｒ（Ｍ）．由模律可知，口１；馬ｏＱ，Ｑ＝Ｑｌ　　ｎ　?。眩病?lt;/b>

112、?。眩?，ｈ（Ｇ）ｎＱ∈ｒ（Ｍ）．令Ｐ＝Ｐｌ　?。?lt;/b>　?。校?，則有Ｍ＝Ｐ　?。?lt;/b>　?。眩校?lt;/b><

113、p>　?。?lt;/b>　?。校病剩危?lt;/b>　　再考慮自然同態(tài)Ⅱ：Ｖｔ—Ｑ．因為ｈ（ｆ）∈ｒ（Ｍ），ｈ（ｆ）∈Ｑ１，口－≤。尬　　則ｕ（ｈ（Ｆ））ｃｒ（Ｑ）∈ｒ（Ｍ）．又由于懇￡＿Ｉｌ（Ｇ），＾（Ｇ）＝Ｐ２０（Ｑｎ＾（Ｇ）），

114、　　所以ｈ（ｆ）＋＾（Ｇ）＝Ｐ２＋ｈ（ｆ）＋ｈ（Ｇ）＝“，ｌ（刃＋１＇２＋ｈ（Ｇ）ｎＱ，ＮＯＱ＝　?。ǎ校欤瑁ǎ疲?，ｌ（Ｇ））ｎＱ＝（ｕｈ（Ｆ）＋Ｐ）ｎＱ＋＿Ｉｌ（Ｇ）ｎＱ＝ｕｈ（Ｆ）＋ｈ（Ｇ）ｎ口∈ｒ（Ｍ）．　?。ǎ保I（３），（２）營（４）由定義直接可得．　?。保矗?/p>

115、．　　余有限提升模和ｒ一半正則模　?。ǎ保剑ǎ担┮驗椋蜑椋蛞话胝齽t模，所以存在分解Ｍ＝Ａ　?。?lt;/b>　?。?，使得　?。痢馨?，衄ｎＢ∈ｒ

116、（Ｍ），于是柚＝ＡｏｚＲｎＢ．根據(jù)對偶基原理（見【９１）　　可知，存在墨∈Ａ，ｏｑ∈ＨｏｍＲ（Ａ，Ｒ），使得Ｆ＝￡各ｌ戤慨Ⅳ），”∈Ａ，再作　　屈∈ＨｏｒｎＲ（Ｍ，硒，滿足角（ｏ＋６）＝啦（ｎ）．記ｚ＝ｄ＋ｂ，≈＝鞏，如∈Ｒ．令　?。幔?！毽ｌｒ‘風(fēng)∈Ｈｏｍａ（Ｍ，Ｒ）．于是ｘ（ａｘ）＝！建ｌｚ（ｎ覷力；！毽１輯

117、（啦（∞）＝ａ，　　即ｚ—ａ＝ｚ—ｘ（ａｚ）＝６∈ｘＲｎＢＳｆ（Ｍ）．同理可得（凹）２＝ａｚ．’　　（５）＝｝（６）設(shè)毛ａ如上，并令∥＝ｚ（ｏ動，則ｇ＝Ｆ（唧）．由阻．引理１．１１　　知，Ｍ＝ｙＲｏ彬Ｗ＝扣∈ＭｌⅣ（Ⅻ，）＝ｏ＇．令，ｙ：Ｍ一妒∈柏為自然　　投射，假如ｚ＝

118、ｙｒ＋如，ｒ∈Ｒ，＂∈形則０＝ｙａ扛一ｙｒ）＝Ⅳ（∞）一９Ｑ（Ⅳ）ｒ＝　?。ǎ幔┮唬?，因此＂＝ｙｒ＝筍（∞）＝Ｆ，￡一懈＝ｚ—ｙ∈ｒ（Ｍ）．　?。ǎ叮┬粒ǎ保┯杉僭O(shè)知Ｍ＝７（肼）ｏ（１一們（Ｍ），，ｙ（＾ｆ）∈ｚＲ，ｘＲｎ（１一，ｙ）（Ｍ）于　?。ǎ薄罚遥?７．（Ｍ）．<

119、p>　　推論３．５如果Ｍ為ｒ一半正則模，則Ｍ／ｒ（Ｍ）的每個有限生成子模　　都是Ｍ／ｒ（Ｍ）的直和項．　　證明設(shè)ｈ：Ｍ—Ｍ／ｒ（Ｍ）為Ｉ芻然滿同態(tài)，Ｘ為＾∥ｒ（＾Ｄ的有限生成子　　模，則可以找到Ｍ的有限生成子模Ｎ，使得Ｘ＝＾（Ⅳ）．因為Ｍ為ｒ一半正　　則模，由定理３

120、．４知，存在，２＝ｆ∈Ｅｎｄ（Ｍ），使得ｆ（Ｍ）至Ｎ，（１一，）（Ⅳ）∈　?。颍ǎ停颍ǎ停椋偷娜蛔冏幽?，故ｒ（Ｍ）＝７．（Ｍ）ｎｆ（Ｍ）ｏｒ（肘）ｎ（１一　　，）（Ｍ），（，（Ｍ）＋７．（Ｍ））ｎ（（１一，）（Ｍ）＋ｒ（Ｍ））＝（，（Ｍ）＋ｒ（Ｍ）ｎ（１一１）（Ｍ））ｎＣ（１－　　似Ｍ）＋ｒ（Ｍ）ｎ，

121、（Ｍ））＝ｆ（Ｍ）．所以我們有ｈ（Ｍ）＝ｈｆ（Ｍ）ｏｈ（１－ｆ）（Ｍ），ｘ＝　?。瑁ǎ危剑瑁ǎ妫ǎ停ǎ币?，）（Ⅳ））＝ｈｆ（Ｍ）．　　定義３．６設(shè)Ｍｘ∈Ｍａｄ—Ｒ，如果對于任意ｆ∈Ｈｏｍ（Ｘ，＾種，都存在　　分解Ｍ＝ＮｏＬ，使得ＮＳ，（ｘ），ｆ（ｘ）ｎＬ∈ｒ（Ｍ），則我們稱Ｍ滿足＆

122、　　條件．　　引理３．７設(shè)Ｍ，五ａ＝１，２，…ｎ）∈Ｍｏｄ—Ｒ，則以下說法等價。　?。ǎ保蜐M足氏條件ａ＝１，２，…，Ｉ）　?。保担?lt;/b>　　碩士學(xué)位論文</

123、b>　?。ǎ玻τ谌我猓蕖剩龋铮颍睿ǎ兀?，Ｍ），（ｉ＝１，２，…ｆ１），都存在分解Ｍ＝ＮｏＬ，　　使得Ｎ≤∑：。＾（Ｘ），∑壘。，‘（置）ｎＬ∈ｒ（Ｍ）．　?。ǎ常蜐M足Ｆ如，噩條件　　證明（１）辛（２）利用數(shù)學(xué)歸納法．當(dāng)ｋ＝１時，結(jié)論顯然成立．假設(shè)</p&g

124、t;　　當(dāng)ｋ＝ｎ一１時，結(jié)論成立．現(xiàn)設(shè)ｋ＝ｎ，由歸納假設(shè)及（１）知，存在分解　　Ｍ＝ＮｏＬ，使得Ｎ≤∑譬五（五），∑。ｎ－－。１＾（五）ｎＬ∈ｒ（肘）．即存在冪等元　?。澹薄剩牛睿洌ǎ停?，使得ｅｌ（Ｍ）≤Ｅ＿【＝ｌｎ－－１五（ｘ），以及∑茸五（ｘ）ｎ（１一ｅＯ（Ｍ）＝　?。ǎ币唬澹保ǎ牛龋?/p>

125、－－１五（Ｘ））∈ｒ（Ｍ）．然而（１一ｅ１）厶∈Ｈｏ，ｎ（Ｘ。，Ｍ），Ｍ滿足‰條　　件，所以又存在冪等元ｅ：∈Ｅｎｄ（Ｍ），使得ｅ２（Ｍ）≤（１一ｅ１）厶（％），（１一　?。澹保┷蹋ǎ?，）ｎ（１一句）（Ｍ）＝（１一ｅ２）（１一ｅ１）厶（五。）＝（１一ｅ）厶（Ｘ。）∈７－（Ｍ）．　　這里ｅ＝ｅ１＋ｅａ—ｅａｅｌ．因

126、為ｅｌｅ２＝０，所以ｅ為Ｅｎｄ（Ｍ）的冪等元．　　再根據(jù)ｅｅｌ；ｅｌ，ｅｅ２＝ｅ２可得，ｅ（Ｍ）＝ｅｌ（Ｍ）ｏ　?。澹幔ǎ停堋泼拔澹ㄖ茫?lt;/p>　?。ǎ币唬澹保┷蹋ǎ?。）＝∑：。，ｉ（五），∑：ｌ＾（Ｘ）ｎ（１一ｅ）（Ｍ）＝（１一ｅ）（∑銎。＾（咒））＝　?。ǎ币唬澹玻ǎ币?/p>

127、ｅ１）（∑。ｎ－。Ｉ＾（Ｘ））＋（１一ｅ）厶（％），由于ｒ（Ｍ）為Ｍ的全不變子模，　　故∑：。＾（咒）ｎ（１一ｅ）（Ｍ）∈ｒ（Ｍ）．此時還有Ｍ＝ｅ（Ｍ）ｏ（１一ｅ）（Ｍ），于是　?。ǎ玻┏闪ⅲ?lt;/b>　?。ǎ玻┝睿ǎ常┤稳。琛剩龋恚ǎ铮ィ熘?，Ｍ），則ｈ（ｅ７；ｌＸ）＝∑：１，ｌ凡（墨

眾賞文庫> 全部分類> 畢業(yè)設(shè)計

溫馨提示

1. 本站所有資源如無特殊說明，都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等，如果需要附件，請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙，網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽，若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
5. 眾賞文庫僅提供信息存儲空間，僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理，對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯，并不能對任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容，請與我們聯(lián)系，我們立即糾正。
7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

余有限提升模和τ-半正則模

文檔簡介

溫馨提示

最新文檔

評論

余有限提升模和τ-半正則模

文檔簡介

溫馨提示

最新文檔

評論

免費下載