辛體系算法在波的傳播與振動(dòng)問(wèn)題中的應(yīng)用.pdf

1、隨著科技的不斷發(fā)展，各種工程問(wèn)題逐漸趨向復(fù)雜化，非線性領(lǐng)域也引起越來(lái)越多的重視。因此得益于計(jì)算機(jī)技術(shù)發(fā)展的科學(xué)計(jì)算得到了飛速的發(fā)展?？茖W(xué)計(jì)算已經(jīng)同理論與實(shí)驗(yàn)共同構(gòu)成當(dāng)代科學(xué)研究的三大支柱。本博士論文在Hamilton體系框架下，研究了辛幾何算法在部分波傳播問(wèn)題和振動(dòng)問(wèn)題中的應(yīng)用。辛幾何算法相對(duì)傳統(tǒng)算法有其獨(dú)特的優(yōu)越性，因?yàn)楸Ｊ伢w系可用Hamilton體系的方法描述，其特點(diǎn)是保辛。保辛給出保守體系結(jié)構(gòu)最重要的特性。而對(duì)于某些非保守系統(tǒng)則也

2、可通過(guò)轉(zhuǎn)化為保守系統(tǒng)進(jìn)行分析。針對(duì)某些波傳播問(wèn)題和振動(dòng)問(wèn)題，在辛體系下應(yīng)用精細(xì)積分法、擴(kuò)展的Wittrick-Williams算法、子結(jié)構(gòu)分析、界帶分析等理論方法提出了一系列算法。大量的數(shù)值算例表明，本文給出的辛幾何算法在效率上和精度上有較大的優(yōu)勢(shì)。本論文的主要研究工作如下： (1)將精細(xì)積分法應(yīng)用于二階橢圓函數(shù)的求解，給出了二階橢圓函數(shù)的精細(xì)積分算法。大量的算例驗(yàn)證了算法的可行性和正確性，并通過(guò)奇點(diǎn)處理使算法進(jìn)一步完善。通過(guò)與

3、其他的現(xiàn)有算法和軟件對(duì)比，發(fā)現(xiàn)橢圓函數(shù)的精細(xì)積分算法無(wú)論是在精度上、速度上還是在適用范圍上都優(yōu)于其他算法。隨后在分層介質(zhì)光波導(dǎo)問(wèn)題的應(yīng)用中再次證明該算法在處理工程問(wèn)題時(shí)存在很大的優(yōu)勢(shì)。 (2)利用電磁波導(dǎo)的辛體系理論分析并求解了分層介質(zhì)中光波導(dǎo)的問(wèn)題。首先在辛體系下，對(duì)線性分層介質(zhì)波導(dǎo)問(wèn)題進(jìn)行了分析，指出其本征值問(wèn)題的復(fù)雜性。進(jìn)而將精細(xì)積分法與擴(kuò)展的Wittrick-Williams算法相結(jié)合給出了一種高精度的求解方法。利用本征

4、值計(jì)數(shù)可以做到指定范圍準(zhǔn)確求解而且決不丟根，這是本文算法的一大特點(diǎn)。在此基礎(chǔ)上還對(duì)非線性分層介質(zhì)光波導(dǎo)問(wèn)題作了簡(jiǎn)單的分析，并利用精細(xì)積分方法求解了非線性Kerr材料的分層介質(zhì)波導(dǎo)問(wèn)題。 (3)在Lagrange坐標(biāo)下，利用位移法提出了一個(gè)描述淺水波問(wèn)題的新方程。該方程不同于傳統(tǒng)的Euler坐標(biāo)系下的淺水波方程，位移法淺水波方程可以用其相應(yīng)的Lagrange函數(shù)、變分原理進(jìn)行分析，沿分析結(jié)構(gòu)力學(xué)的路走，從而達(dá)到保辛。孤波現(xiàn)象在淺水

5、波問(wèn)題中受到廣泛重視，位移法淺水波方程也可以得出孤波解。大量的數(shù)值算例發(fā)現(xiàn)：在淺水波的基本假設(shè)下，位移法孤波解與傳統(tǒng)的KdV方程的孤波解非常接近。本文還分析了兩種方法的特點(diǎn)與區(qū)別，指出位移法淺水波方程為利用分析結(jié)構(gòu)力學(xué)研究淺水波問(wèn)題開辟了一條新路。 (4)本文研究了非線性Duffing方程的保辛數(shù)值算法，并指出利用時(shí)間有限元等數(shù)值方法求解時(shí)須注意的保辛性問(wèn)題。空間有限元是自動(dòng)保辛的，因?yàn)橛邢拊腔谧兎衷淼?；而從變分原理?dǎo)出的

6、時(shí)間有限元矩陣也有對(duì)稱性，從而達(dá)到保辛。對(duì)于非線性振動(dòng)問(wèn)題的數(shù)值求解常用到攝動(dòng)法，傳統(tǒng)攝動(dòng)法采用加法攝動(dòng)，無(wú)法實(shí)現(xiàn)保辛。本文在處理該問(wèn)題時(shí)采用乘法攝動(dòng)，從而保證了傳遞矩陣保持為辛型，實(shí)現(xiàn)了保辛。通過(guò)和傳統(tǒng)Runge-Kutt法的大量數(shù)值對(duì)比，驗(yàn)證了本文算法的正確性和穩(wěn)定性。 (5)對(duì)于工程問(wèn)題中廣泛存在的跨域影響問(wèn)題，將子結(jié)構(gòu)間的分界面擴(kuò)展為有一定寬度的分界帶從而建立了界帶結(jié)構(gòu)，并給出了相應(yīng)的子結(jié)構(gòu)界帶分析和色散分析的理論和算法