雙曲空間中的曲面論.pdf

1、本論文講述的主要是歐氏空間和雙曲空間中的曲線和曲面的幾何理論，著重介紹了如何利用活動(dòng)標(biāo)架法與李群的知識(shí)來(lái)研究曲面的幾何。全文共分三部分，具體介紹如下： 第一部分為基礎(chǔ)知識(shí)，系統(tǒng)講述了三維歐氏空間中曲線和曲面的局部幾何理論和曲面的內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué)，并簡(jiǎn)單介紹了李群的概念及其性質(zhì)。 第二部分將三維歐氏空間中曲線和曲面的性質(zhì)推廣到高維歐氏空間中，首先在前人工作的基礎(chǔ)上分別給出了n維歐氏空間中的曲線在一般參數(shù)和弧長(zhǎng)參數(shù)這兩種參數(shù)形式下

2、的 Frenet公式，然后給出了曲面中由自然標(biāo)架直接構(gòu)造出正交標(biāo)架的兩種方法，最后討論了三維歐氏空間R<'3>中曲面及其平行曲面的Gauss曲率和平均曲率之間的關(guān)系，其中的方法可推廣到變分的計(jì)算，以及高維歐氏空間中的超曲面及其平行超曲面的曲率之間的關(guān)系的計(jì)算。 第三部分將活動(dòng)標(biāo)架法與李群相結(jié)合，在歐氏空間R<'n>上定義另外一種度量，構(gòu)造出雙曲空間H<'n>，在山東大學(xué)史淑國(guó)等人研究的基礎(chǔ)上討論了雙曲空間H<'n>中的曲面，對(duì)它

3、的黎曼度量進(jìn)行了研究，緊接著將雙曲上半空間H<'n>中的曲面視為H<'n>中的曲面，在活動(dòng)標(biāo)架法下對(duì)雙曲空間中的曲面展開(kāi)進(jìn)一步的討論，具體說(shuō)來(lái)是充分考慮到史淑國(guó)等人發(fā)現(xiàn)的雙曲空間H<'n>上的群結(jié)構(gòu)，給出了曲面的結(jié)構(gòu)方程和運(yùn)動(dòng)方程的一個(gè)簡(jiǎn)單明了的推導(dǎo)過(guò)程，然后仿照n維歐氏空間R<'n>中的Gauss映射討論了日”中曲面的兩種不同的Gauss映射——法Gauss映射和雙曲Gauss映射，并且給出了這兩種Gauss映射之間的關(guān)系，最后是總結(jié)