連通微分分次代數(shù)的同調(diào)性質(zhì).pdf

1、微分分次(簡稱為DG)代數(shù)自然地出現(xiàn)在交換代數(shù)，代數(shù)拓?fù)?，代?shù)幾何和非交換幾何等數(shù)學(xué)分支中.作為一個重要的代數(shù)工具，日益顯示出其重要價值.發(fā)展一套系統(tǒng)的微分分次同調(diào)代數(shù)理論顯得非常迫切.近年來，代數(shù)學(xué)家們?yōu)閷⒔Y(jié)合代數(shù)的同調(diào)理論推廣到微分分次同調(diào)代數(shù)的層面開展了大量的工作，但是這一理論至今尚不完善.本文以連通DG代數(shù)上的DG模范疇為研究對象，系統(tǒng)地研究了連通DG代數(shù)上的DC模的同調(diào)性質(zhì)及各種同調(diào)不變量. 對于連通DG代數(shù)上的緊(c

2、ompact)的DG模，我們證明了Cochain Auslander-Buchsbaum公式和Cochain Bass公式.我們的結(jié)果是[JF2]中相應(yīng)同調(diào)恒等式的進(jìn)一步推廣.另外，我們還將[JF2]中單連通DG代數(shù)情形下的Gap定理推廣到連通DG代數(shù)的情形. 復(fù)形X的振幅(amplitude)定義為其同調(diào)不為零的次數(shù)的上界與下界的差.對于連通DG代數(shù)上的緊的DG模，我們證明了類似于[Jo5]中Amplitude不等式的一個等式

3、.對于一個同調(diào)有界的連通DG代數(shù)上的緊的DG模，我們由此等式可得其振幅與DG代數(shù)的振幅的差恰是它的投射維數(shù).由此可知非平凡(不擬同構(gòu)于k)的正則DG代數(shù)必然是同調(diào)無界的. 經(jīng)過一些代數(shù)學(xué)家的努力，很多交換Gorenstein環(huán)的豐富內(nèi)容被推廣到了DG代數(shù)的層面上.本文采用了Frankild-Jφrgensen[JF3]定義的Gorenstein條件.并且我們將Frankild，Iyengar和Jφrgensen[FIJ]證明的有

4、關(guān)單連通Gorenstein DG代數(shù)的一些結(jié)果推廣到了連通Gorenstein DG代數(shù)的情形.對于同調(diào)有限維的連通Gorenstein DG代數(shù)A，我們考察了Auslander-Reiten三角在Dc(A)上的存在性與A的Gorenstein性質(zhì)之間的關(guān)系.當(dāng)A是非平凡的，同調(diào)局部有限維的正則DG代數(shù)時，A的同調(diào)沒有上界.此時可證Dc(A)中不存在Auslander-Reiten三角.所以對任意的正則DG代數(shù)A，我們轉(zhuǎn)而討論Ausl

5、ander-Reiten三角在Dblf(A)中的存在性，并且發(fā)現(xiàn)A的Gorenstein性質(zhì)與之密切相關(guān).例如對Koszul正則DG代數(shù)，它是GorensteinDG代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它上的同調(diào)有限維DG模的導(dǎo)出范疇存在Auslander-Reiten三角. 怎樣合理地定義DG代數(shù)的整體維數(shù)?是很多代數(shù)學(xué)家感興趣的問題.本文把有理同倫論中的同倫不變量-錐長度(cone length)首次引入到微分分次同調(diào)代數(shù)中，定義了DG代數(shù)上模的錐

6、長度.我們定義DG代數(shù)A的左(右)整體維數(shù)是所有DGA-模(Aop-模)的錐長度的上確界.任意一個連通分次代數(shù)，如果將它視為微分為0的連通DG代數(shù)，其左(右)整體維數(shù)與其作為連通分次代數(shù)的整體維數(shù)是一致的.因此我們的定義是連通分次代數(shù)整體維數(shù)的一種推廣形式.在一些特殊情形下，我們發(fā)現(xiàn)連通DG代數(shù)A的左(右)整體維數(shù)與H(A)的整體維數(shù)有著密切的關(guān)系.我們證明正則DG代數(shù)的左(右)整體維數(shù)都有限，最后我們證明DG代數(shù)A的整體維數(shù)是三角范疇