一些極小極大定理及其在非光滑分析中的應(yīng)用.pdf

1、極小極大原理最早起源于上個(gè)世紀(jì)初VonNeumann對(duì)博弈論的研究。第一個(gè)極小極大定理是VonNeumann在1928年建立的。隨后，人們對(duì)極小極大定理的研究非?；钴S，1964年，KyFan建立了第一個(gè)兩個(gè)函數(shù)極小極大定理。極小極大不等式作為極小極大原理的另一種形式，是由KyFan在1972年首次給出的。KyFan極小極大不等式在很多領(lǐng)域都有應(yīng)用，并且它還與Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理、KKM定理、Browder變分不等式、Kakutani

2、不動(dòng)點(diǎn)定理、KyFan-Glicksberg不動(dòng)點(diǎn)定理、Nash經(jīng)濟(jì)平衡原理等都是等價(jià)命題。在早期的工作中，極小極大原理一般都涉及某種線性結(jié)構(gòu)，或者說大都是建立在拓?fù)渚€性空間上的。隨著極小極大原理的發(fā)展，不帶任何線性結(jié)構(gòu)的極小極大原理成為研究的熱點(diǎn)。1953年，KyFan建立了第一個(gè)純拓?fù)淇臻g上的極小極大定理，隨后，Konig，Simon，M.Neumann等都分別給出了純拓?fù)淇臻g上的極小極大定理。1987年，Horvath用可縮性代替

3、凸性建立了一個(gè)純拓?fù)淇臻g——H-空間上的KKM型定理。作為H-空間的推廣形式，Ben-El-Mechaiekh，Chebbi，F(xiàn)lonzane與Llineres在1998年給出了L-凸空間的概念，隨后出現(xiàn)了大量建立在L-凸空間上的極小極大不等式、KKM型定理、不動(dòng)點(diǎn)定理、截口定理等定理。另外，隨著極小極大原理的不斷發(fā)展，人們對(duì)它的應(yīng)用問題也變得越來越感興趣。1999年，Kassay與Páles應(yīng)用KyFan1972年的極小極大不等式證明

4、了一個(gè)關(guān)于上部連續(xù)的集值映射與Clarke推廣的上半方向?qū)?shù)的變分不等式，2002年，Isac與Li應(yīng)用KyFan1961年的Fan-KKM定理重新證明了上述變分不等式。極小極大原理還被廣泛的應(yīng)用在博弈論、數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、最優(yōu)化理論、變分不等式、微分方程、不動(dòng)點(diǎn)定理、位勢(shì)論、截口定理等不同的領(lǐng)域中。 本文分為四章。 在第一章中，我們將介紹一些有關(guān)極小極大原理的背景及本文中涉及的一些記號(hào)與概念。 在第二章中，我們將建立

5、幾個(gè)混合型的兩個(gè)函數(shù)極小極大定理。在2.1節(jié)中，根據(jù)A.Stefanescu在2001年首次提出的弱凸函數(shù)與弱凹函數(shù)的概念，給出了關(guān)于g弱凸與關(guān)于g弱凹的概念，建立了一個(gè)包含弱凹與關(guān)于g弱凸的兩個(gè)函數(shù)極小極大定理與一個(gè)包含弱凹與關(guān)于g弱α-仿射連通的兩個(gè)函數(shù)極小極大定理。在2.2節(jié)中，建立了兩個(gè)包含關(guān)于函數(shù)值嚴(yán)格單調(diào)變換的兩個(gè)函數(shù)極小極大定理。 在第三章中，我們主要研究L-凸空間上的極小極大原理。建立L-凸空間上的KKM定理，截