非均勻系統(tǒng)中孤子的演化和控制.pdf

1、非線性現(xiàn)象在生活中非常普遍,它廣泛地出現(xiàn)在非線性光學(xué)、玻色一愛因斯坦凝聚(BEC)、光子學(xué)、半導(dǎo)體電子學(xué)、等離子體、生物學(xué)、熱傳導(dǎo)、液晶等領(lǐng)域。人們一般用一些非線性偏微分方程來描述這些非線性系統(tǒng),而方程的解則稱之為孤子。從物理學(xué)的觀點(diǎn)來看,孤子是物質(zhì)非線性效應(yīng)和色散效應(yīng)達(dá)到某種平衡時的一種特殊產(chǎn)物；從數(shù)學(xué)上看,它是某些非線性偏微分方程的一類穩(wěn)定的、能量有限的不彌散解。即是說,它能始終保持其波形和速度不變。孤子在互相碰撞后,仍能保持各自的

2、形狀和速度不變,好像粒子一樣,故人們又把它稱為孤立波。
　　 非線性系統(tǒng)主要可分為均勻的和非均勻的,對于均勻非線性系統(tǒng),描述它的非線性方程一般是常系數(shù)的,這種類型方程的孤子解是比較容易找到的,其解的形式也相對簡單.對于常系數(shù)的非線性方程,其孤子解的傳播波形不依賴于任何可控參量,只是關(guān)于坐標(biāo)或時間的函數(shù),這使得孤子的傳播演化波形無法調(diào)節(jié),而實(shí)際上,人們往往要求得到的是一些可以控制和調(diào)節(jié)的孤子波形.在試驗上,也不可能使外界的環(huán)境一成

3、不變,總有一些干擾孤子演化的因素存在,從而很難得到穩(wěn)定的孤子波形,這就使我們轉(zhuǎn)而關(guān)注變系數(shù)的非線性系統(tǒng)。在非均勻非線性系統(tǒng)中,描述它的非線性方程一般是變系數(shù)的,這種類型方程的各項系數(shù)一般是關(guān)于坐標(biāo)或時間或者空間的函數(shù),有時方程還包括外勢.在這種情況下,方程一般是不可積的,因此,我們在尋找方程的孤子解之前,應(yīng)先找出方程的可積性條件.在可積性條件下,我們可以運(yùn)用反演散射法,Backlund變換,雙線性方法以及一些相似變換方法來尋求方的孤子解

4、.這時,方程的解中一般包括方程的變系數(shù)(或通過別的可變參量和方程的變系數(shù)相聯(lián)系),孤子解的傳播波形也隨著方程的可變系數(shù)而變化,這樣,我們就可以通過調(diào)節(jié)方程的可變系數(shù)來控制孤子的演化波形,從而得到我們想要的孤子波形,再將這些實(shí)驗結(jié)果應(yīng)用于具體的物理領(lǐng)域中。在這些非線性方程中,研究的比較多的是非線性Schrodinger方程,本課題中,我們將應(yīng)用相似變換的方法求解一類變系數(shù)非線性Schrodinger方程,以期得到一些方程的精確解和解析解,

5、進(jìn)而研究解的性質(zhì).本論文研究內(nèi)容包括:
　　 (1)研究一維空間不均勻非線性Schrodinger方程的精確解。通過運(yùn)用修正的CK直接法,我們構(gòu)造了大量的關(guān)于一維空間不均勻非線性Schrodinger方程的精確解。首先運(yùn)用修正的CK直接法將非線性Schrodinger方程約化為常微分方程,同時得到一個外勢和約化參量之間的關(guān)系式；然后通過對約化參量取不同的函數(shù),得到不同的有研究意義外勢；最后在考慮外勢和常微分方程解的情況下得出非線

6、性Schrodinger方程的精確解。
　　 (2)研究廣義非自治高次非線性Schrodinger方程的解析解。通過運(yùn)用相似約化的方法,我們構(gòu)造了大量的關(guān)于廣義非自治高次非線性Schrodinger方程的解析解。首先運(yùn)用相似約化方法將廣義非自治高次非線性Schrodinger方程化為標(biāo)準(zhǔn)的非線性Schrodinger方程,同時得到方程存在解析解的可積性條件；然后考慮在沒有外勢和幾種較典型外勢情形下方程的解析解。我們討論了空間二次

7、勢,晶格勢,吸引-排斥勢等一些較有意義的外勢,并得出了周期孤立波解,衰減孤立波解,晶格孤立波解以及一些有意思的解析解。最后,我們討論了這些解的一些性質(zhì),如孤立波的寬度,速度,振幅的,并研究了一些可變的可控參量在解中所起的作用,從而達(dá)到控制孤立波傳播的目的。
　　 (3)研究孤子在Fourier-Synthesized晶格勢中的演化和碰撞的性質(zhì)。我們研究廣義非自治非線性Schrodinger方程在其外勢為Fourier-synth