縱向數(shù)據(jù)中線性混合模型的估計(jì)與檢驗(yàn).pdf

1、在對(duì)社會(huì)學(xué),生物學(xué),經(jīng)濟(jì)學(xué)以及農(nóng)業(yè)等學(xué)科的連續(xù)性縱向數(shù)據(jù)研究時(shí),線性混合效應(yīng)模型是很受歡迎的研究工具。這是因?yàn)槟Ｐ椭须S機(jī)效應(yīng)和誤差的分布往往假設(shè)為正態(tài)分布,這樣我們就可以很方便的使用極大似然估計(jì)方法(MLE)或者限制極大似然估計(jì)方法(RMLE)來研究模型中的參數(shù)性質(zhì)。特別地,人們可以使用SAS,R等統(tǒng)計(jì)軟件直接分析數(shù)據(jù)。然而,隨著對(duì)線性混合模型研究的深入,人們發(fā)現(xiàn)實(shí)際數(shù)據(jù)中正態(tài)性假設(shè)并不完全成立,特別是隨機(jī)效應(yīng)的正態(tài)性假設(shè)更值得懷疑。如

2、何檢驗(yàn)?zāi)Ｐ椭械姆植嫉恼龖B(tài)性,以及拒絕正態(tài)性假設(shè)后,如何估計(jì)模型參數(shù),研究隨機(jī)效應(yīng)和誤差的局部性質(zhì)是本文要研究的問題。在論文的第一部分,我們將研究線性混合效應(yīng)模型中隨機(jī)效應(yīng)的正態(tài)性假設(shè)。在文獻(xiàn)中,基于經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù),Epps＆Pulley(1983)提出了對(duì)一維隨機(jī)變量的正態(tài)性假設(shè)的擬和檢驗(yàn),Baringhaus＆Henze(1988)解決了多維隨機(jī)向量的正態(tài)性檢驗(yàn)問題,與此類似的檢驗(yàn)被統(tǒng)計(jì)學(xué)家統(tǒng)稱為BHEP檢驗(yàn)。這里,我們推廣Henze&

3、Wanger(1997)提出的BHEP檢驗(yàn)方法來構(gòu)造我們的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。因?yàn)槟Ｐ椭须S機(jī)效應(yīng)是不可觀測的,我們只有使用相應(yīng)的最優(yōu)線性無偏預(yù)測(BLUP)。研究發(fā)現(xiàn),文中的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量在原假設(shè)下漸近收斂于一個(gè)零均值的高斯過程,并且對(duì)以參數(shù)速度收斂到原假設(shè)的被擇分布特別敏銳。因?yàn)闃O限高斯過程不易用來模擬檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的臨界值,我們提出了條件蒙特卡洛模擬方法(CMCT)。為了直觀的研究我們的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的功效,我們給出了不同分布假設(shè)下,檢驗(yàn)的p-值,并與

4、文獻(xiàn)中已有的兩種檢驗(yàn)方法作了比較。此外,我們還進(jìn)行的了一些實(shí)際數(shù)據(jù)分析。經(jīng)過上述檢驗(yàn)方法分析實(shí)際數(shù)據(jù),我們發(fā)現(xiàn)正態(tài)性假設(shè)確實(shí)不完全成立。在論文的余下部分,我們來研究非正態(tài)假設(shè)下如何估計(jì)模型的未知參數(shù),以及研究隨機(jī)效應(yīng)和誤差的局部性質(zhì),也就是估計(jì)它們的一些高階矩,文中我們主要研究了前四階矩的非參數(shù)估計(jì)。首先,當(dāng)模型中的隨機(jī)效應(yīng)是一維的并且其協(xié)變量都是1時(shí),我們利用模型的特征構(gòu)造了前四階矩的估計(jì)方程,而后給出相應(yīng)的非參數(shù)估計(jì)。通過對(duì)所有估計(jì)

5、的漸近性質(zhì)的研究,我們發(fā)現(xiàn),如果每組實(shí)驗(yàn)的次數(shù)也能足夠多時(shí),我們的估計(jì)擁有最小的漸近方差。在這種意義上說,我們的方法優(yōu)于第一個(gè)研究此問題的文獻(xiàn)Cox＆Hall(2002)提出的估計(jì)方法。此外,在他們的模型下,我們也可以從另一個(gè)角度更簡單的構(gòu)造他們的估計(jì)方程。通過一些簡單的模擬,也證實(shí)了我們的估計(jì)方法的優(yōu)越性,特別是對(duì)誤差的高階矩的估計(jì)。但是,無論我們的估計(jì)方法或者他們的都很難推廣到更高階矩的估計(jì)或者隨機(jī)效應(yīng)為多維時(shí)更一般的情形。正如Ji

6、ang(2006)所說的那樣,對(duì)于這種一般的模型,我們很難建立估計(jì)方程。為了解決這個(gè)問題,我們提出了一個(gè)簡單的矩估計(jì)方法。主要推導(dǎo)工具是矩陣中Kronecker乘積,矩陣?yán)边\(yùn)算以及數(shù)學(xué)期望。我們研究了隨機(jī)效應(yīng)和誤差的前四階矩估計(jì)的漸近性質(zhì),并給出了簡單的模擬結(jié)果。比較上述兩種估計(jì)法,我們發(fā)現(xiàn):當(dāng)隨機(jī)效應(yīng)是一維的時(shí)侯,誤差的各階矩的估計(jì)不依賴不可觀測的隨機(jī)效應(yīng),隨機(jī)效應(yīng)的估計(jì)也不依賴誤差,因此,估計(jì)的漸近方差結(jié)構(gòu)特別簡單也是最優(yōu)的;而當(dāng)

7、隨機(jī)效應(yīng)是多維的,因?yàn)殡S機(jī)效應(yīng)的協(xié)變量的影響,我們沒有辦法針對(duì)隨機(jī)效應(yīng)和誤差的各階矩分別建立估計(jì)方程,這導(dǎo)致所得的估計(jì)的漸近方差或者協(xié)方差矩陣特別復(fù)雜,從而估計(jì)的效果不是很好。因此,我們提出了正交的矩估計(jì)方法。我們知道,對(duì)任意一個(gè)矩陣A,只要它不是行滿秩的就會(huì)存在正交矩陣B使得BA=0。例如,人們經(jīng)常使用的QR分解方法找到正交矩陣B,更直接地,B可以取為矩陣A的正交投影矩陣。利用矩陣的這個(gè)性質(zhì),我們首先把模型中隨機(jī)效應(yīng)部分去掉,根據(jù)得到