變分不等式的間隙函數(shù)和解的弱sharp極小性質(zhì).pdf

1、變分不等式問題是一個(gè)經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題.許多物理學(xué)和工程學(xué)中的問題,它們的模型都是一些偏微分方程加上適當(dāng)?shù)倪呏禇l件和初始值條件,并且通過一些變分不等式來描述的.由于變分不等式問題與補(bǔ)問題、最優(yōu)化問題、平衡問題、不動(dòng)點(diǎn)理論等數(shù)學(xué)分支的緊密聯(lián)系,以及它在科學(xué)與經(jīng)濟(jì)方面的廣泛應(yīng)用,這類問題越來越顯示其重要性.
　　 關(guān)于變分不等式的理論分析和數(shù)值結(jié)果一直是研究的熱點(diǎn).近年來,許多學(xué)者關(guān)注利用間隙函數(shù)將變分不等式等價(jià)的化為約束優(yōu)化和無約束優(yōu)

2、化的問題.所謂間隙函數(shù)是指定義在全空間或者其子集上的實(shí)值函數(shù),它在給定集合上的全局最小點(diǎn)集就是變分不等式問題的解集.在構(gòu)建解決變分不等式問題的算法和分析這些算法的收斂性質(zhì)時(shí),間隙函數(shù)起到了非常重要的作用.因此間隙函數(shù)的研究已經(jīng)成為變分不等式問題的重要研究方向之一.
　　 本文針對(duì)兩類廣義變分不等式分別定義了廣義正則間隙函數(shù)和D-間隙函數(shù),研究了它們的性質(zhì),并且證明這些間隙函數(shù)的零解集合就是廣義變分不等式的解集.通過分別使用廣義正

3、則間隙函數(shù)或D-間隙函數(shù),在所研究變分不等式問題的目標(biāo)函數(shù)關(guān)于解是g-強(qiáng)單調(diào),而不再需要連續(xù)可微甚至局部Lipschitz的條件下,得到了全局誤差界.由于廣義變分不等式包括標(biāo)準(zhǔn)變分不等式,擬變分不等式和補(bǔ)問題等特殊情形,我們得到的結(jié)果可以看成關(guān)于這些問題的已知結(jié)果的推廣.
　　 變分不等式的各類間隙函數(shù)中,有一類稱作對(duì)偶間隙函數(shù).它是由Marcotte和 Zhu提出的,他們指出對(duì)偶間隙函數(shù)有全局誤差界等價(jià)于變分不等式的解集具有弱

4、sharp極小性質(zhì).優(yōu)化問題解集的弱sharp極小性質(zhì)在靈敏度分析和算法收斂性分析等方面有著重要的應(yīng)用.
　　 在自反嚴(yán)格凸光滑的Banach空間中,本文首先引入了變分不等式問題解集是弱sharp極小的定義,指出變分不等式問題解集的弱sharp極小性質(zhì)成立的充要條件是其對(duì)偶間隙函數(shù)有全局誤差界.其次本文證明了變分不等式問題的最小原則充分性質(zhì)成立是解集弱sharp極小性質(zhì)成立的必要條件.如果補(bǔ)充一定的條件,那么它就是充要的.為了進(jìn)