跳擴(kuò)散模型在風(fēng)險(xiǎn)理論中的應(yīng)用.pdf

1、集體風(fēng)險(xiǎn)理論主要用來(lái)研究保險(xiǎn)公司的風(fēng)險(xiǎn)行為，百年來(lái)一直備受關(guān)注，是精算數(shù)學(xué)中重要的一支。其經(jīng)典模型由Lundberg在1903的論文(Lundberg(1903))中引進(jìn)，而后經(jīng)過(guò)Haralld Cramer等人的努力，使得模型在數(shù)學(xué)上的定義更為嚴(yán)謹(jǐn)，被大多數(shù)人接受。經(jīng)典模型，同時(shí)也被稱為Cramer—Lundberg風(fēng)險(xiǎn)模型，將所討論的公司模型刻畫(huà)為復(fù)合Poisson過(guò)程，在很多方面得到了應(yīng)用和發(fā)展。Gerber(1970)提出的帶干

2、擾的復(fù)合Poisson模型和Andersen(1957)提出的更新模型，也就是Sparre Anderson模型就是其中比較有名的成功的例子。伴隨模型的發(fā)展和豐富，多種多樣的理論，方法和函數(shù)被引入風(fēng)險(xiǎn)理論的研究中。比如，更新理論，Winener-Hoff程，Ito公式，逐段決定馬氏過(guò)程還有鞅方法都是風(fēng)險(xiǎn)理論及其相關(guān)領(lǐng)域中比較常用的方法。Gerber and Shiu(1997，1998a)在古典模型中引入Gerber-Shiu罰金函數(shù)，

3、使得在精算中最重要三個(gè)變量，破產(chǎn)時(shí)間，破產(chǎn)赤字，破產(chǎn)前盈余，完美的統(tǒng)一在一起，之后由Tsai and Willmot(2002)發(fā)展到帶干擾的模型中。
　　 與此同時(shí)，帶分紅策略下的風(fēng)險(xiǎn)模型也是風(fēng)險(xiǎn)理論中備受關(guān)注的問(wèn)題。當(dāng)然這部分也是由于模型本身所具有的現(xiàn)實(shí)意義所決定的。分紅，即是指將公司的部分所得作為紅利分發(fā)給公司所有者或股份參與者。自然，對(duì)于這些受益人而言，他們不僅關(guān)心公司目前的經(jīng)濟(jì)狀態(tài)，更關(guān)心的是采取怎么樣的分紅策略才能使

4、自己的收益以一定的折現(xiàn)率折現(xiàn)后盡可能的大，即所謂的最優(yōu)分紅問(wèn)題。根據(jù)不同的客戶要求，或者說(shuō)在不同的分紅限制下，最好的分紅策略自然是不同的?，F(xiàn)在比較公認(rèn)的好策略有兩種，一種是帶分紅壁的分紅策略，另外一種是門檻分紅策略，他們已經(jīng)被證明是在相應(yīng)的限制下最優(yōu)的。這兩種分紅策略下的風(fēng)險(xiǎn)模型將在第2章和第3章討論。另外，近來(lái)一種稱為多門檻的分紅策略也被引入風(fēng)險(xiǎn)模型中，并且引起了很多人的注意。多門檻策略下的馬氏調(diào)節(jié)過(guò)程也在本論文的第4章進(jìn)行了討論。<

5、br>　　 基于上述的背景，我的博士畢業(yè)論文主要是致力于對(duì)一些分紅模型中的Gerber-Shiu罰金函數(shù)以及期望折現(xiàn)分紅函數(shù)進(jìn)行研究。
　　 第1章主要簡(jiǎn)介了本論文的研究背景及本畢業(yè)論文的結(jié)構(gòu)和內(nèi)容。
　　 第2，3章主要研究所涉函數(shù)的邊界可微性，證明了所討論的函數(shù)在分紅邊界是一階可微的。第2章中，我們討論了在門檻分紅策略下帶干擾的復(fù)合Poisson模型，對(duì)這個(gè)模型的期望折現(xiàn)分紅函數(shù)和Gerber-Shiu罰金函數(shù)進(jìn)行

6、了研究，證明了他們?cè)诜旨t邊界的可微性，并借助積分微分方程的常規(guī)處理方法，給出了他們的表達(dá)式。
　　 在第3章中，受Avanzi et al.(2007)中所討論的模型的啟發(fā)，我們研究了帶壁分紅策略下，受布朗運(yùn)動(dòng)干擾的對(duì)偶模型，并計(jì)算了這個(gè)模型的期望折現(xiàn)分紅函數(shù)。以證明函數(shù)在分紅邊界的可微性為第一目的，然后用通常的方法對(duì)這個(gè)函數(shù)進(jìn)行了求解。
　　 在第4章中，我們先研究了一類更新的跳擴(kuò)散模型，并將結(jié)論推廣到了受馬氏過(guò)程調(diào)節(jié)