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1、在這篇博士學(xué)位論文中,我們分別研究了下面三個(gè)具非標(biāo)準(zhǔn)增長(zhǎng)條件的變分問(wèn)題解的存在性: 這里位勢(shì)F(x,t)=∫0tf,(x,s) ds在原點(diǎn)的任意鄰域(或+∞)有適當(dāng)?shù)恼袷幮袨?,g是擾動(dòng)項(xiàng)。 這里Ω()RN是有界區(qū)域,帶有光滑邊界()Ω,η是邊界()Ω的外單位法向量,λ是一個(gè)正數(shù),Pi,q∈C(Ω和q(x)>1,對(duì)于所有的i∈{1,2,…,N),2≤pi(x) 2、了這幾個(gè)問(wèn)題。 對(duì)于第一個(gè)問(wèn)題,其工作空間是W1,p(x)(RN).由于在區(qū)域RN上,嵌入不是緊的,因此(P.S.)條件不滿足.為了克服緊性的缺失,一些方法已經(jīng)被應(yīng)用,例如徑向法,集中緊性原理,對(duì)于這個(gè)問(wèn)題我們主要應(yīng)用加權(quán)函數(shù)法去克服緊性的缺失,另外我們還運(yùn)用B. Ricceri的一般變分原理去研究該問(wèn)題多重解的存在性。 對(duì)于第二個(gè)方程,函數(shù)f(x,t)關(guān)于t是奇的,次臨界增長(zhǎng),我們知道如果∈=0,在適當(dāng)?shù)臈l件下方程有無(wú) 3、窮多解.但是非線性項(xiàng)有擾動(dòng)后,即∈>0時(shí),方程還有無(wú)窮多解嗎?退一步,方程還會(huì)有多重解存在嗎?我們給出了當(dāng)函數(shù)g∈C(Ω×R),對(duì)于任意的j∈N,當(dāng)∈>0充分小時(shí),方程至少有j個(gè)不同的弱解。 對(duì)于最后一個(gè)方程,我們考慮了Neumann邊界條件下一個(gè)各向異性擬線性方程在不同情況下本征值的存在性.對(duì)于各向異性算子,它比通常的p(x)-Laplacian算子更為復(fù)雜,因?yàn)椴煌目臻g方向,具有不同的作用函數(shù).同時(shí)我們給出了各向異性算子的
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