有理單元法研究.pdf

1、根據(jù)材料的細觀結(jié)構(gòu)將非均質(zhì)材料區(qū)域劃分成多邊形單元，可以方便有效地模擬非均質(zhì)材料的細觀性能。傳統(tǒng)有限元法在多邊形單元上難以構(gòu)造滿足協(xié)調(diào)性要求的多項式位移試函數(shù)。即使在四邊形單元上，傳統(tǒng)有限元法位移試函數(shù)的構(gòu)造也依賴于等參變換。本文組合Shepard插值的逆距離權(quán)思想和自然鄰點插值考慮節(jié)點分布的思想，采用幾何的方法在多邊形單元上，直接構(gòu)造出有理函數(shù)形式的插值函數(shù)。進而利用構(gòu)造出的有理函數(shù)插值，建立了求解偏微分方程的新型數(shù)值方法——有理單元

2、法。 本文以多邊形單元上有理函數(shù)插值的構(gòu)造和應(yīng)用為主線，主要取得以下創(chuàng)新成果： 一、采用幾何的方法構(gòu)造出多邊形單元上的有理函數(shù)插值。證明了多邊形單元上有理函數(shù)插值的有關(guān)性質(zhì)。給出了有理函數(shù)插值的計算代數(shù)表達式和計算流程，利用該表達式可以方便地編寫計算程序。構(gòu)造的有理函數(shù)插值與Shepard型插值相比，考慮了平面節(jié)點分布對插值的影響；與自然鄰點Laplace插值相比，不需要進行自然鄰點的尋找；與Wachspress型插值相

3、比，不含有待定參數(shù)，方便程序的編寫；在三角形單元和矩形單元上，多邊形有理函數(shù)插值分別等價于傳統(tǒng)有限元的三角形面積坐標(biāo)插值和四邊形雙線性插值；有理函數(shù)插值在多邊形單元上是直接構(gòu)造，不需要進行等參變換處理。 二、對圓形區(qū)域上的曲面利用有理函數(shù)插值進行重構(gòu)。利用區(qū)域邊界有限個點的信息，采用有理函數(shù)插值重構(gòu)曲面。算例表明有理函數(shù)插值得到的重構(gòu)曲面，能夠很好地反映出真實曲面的特征。 三、將構(gòu)造出的有理函數(shù)插值應(yīng)用于凸區(qū)域溫度場分布

4、的插值近似。利用區(qū)域邊界點的溫度值，采用有理函數(shù)插值得到區(qū)域內(nèi)部點的溫度近似值。有理函數(shù)插值得到的溫度場近似分布在區(qū)域內(nèi)溫度梯度是連續(xù)的，克服了傳統(tǒng)有限元插值由于在區(qū)域內(nèi)布點造成的區(qū)域內(nèi)溫度梯度不連續(xù)性的缺陷。數(shù)值算例表明，有理函數(shù)插值得到的溫度場近似分布，能夠很好地反映真實溫度場分布的特點。 四、采用幾何的方法構(gòu)造出多邊形單元上有理函數(shù)形式的混合函數(shù)，建立了多邊形單元上的有理超限插值格式，進而得到四邊形單元上的有理Coons曲

5、面片。給出了有理混合函數(shù)的計算表達式。與傳統(tǒng)Coons插值的線性混合函數(shù)不同，有理Coons插值的混合函數(shù)是非線性的，在曲面重構(gòu)過程中這將有助于反映復(fù)雜曲面的特征。數(shù)值算例表明，對于復(fù)雜曲面，有理Coons插值重構(gòu)的曲面比傳統(tǒng)的Coons插值更準(zhǔn)確反映出真實曲面的特征。 五、將有理Coons插值應(yīng)用于矩形區(qū)域上溫度場分布的插值近似，改進了有理函數(shù)插值在矩形區(qū)域溫度場分布插值近似過程中，局部區(qū)域精度較差的缺陷。數(shù)值算例表明，對于凸

6、域上溫度場分布的插值近似，有理函數(shù)插值適合于圓形區(qū)域，有理Coons插值適合于矩形區(qū)域。 六、將Delaunay三角化的概念推廣到Delaunay多邊形化，提出Delaunay多邊形化網(wǎng)格自動生成技術(shù)。對于給定的節(jié)點分布，由Delaunay多邊形化網(wǎng)格自動生成技術(shù)，可以自動生成計算區(qū)域的多邊形單元網(wǎng)格。Delaunay多邊形化網(wǎng)格自動生成技術(shù)使得復(fù)雜區(qū)域的網(wǎng)格劃分非常靈活方便。算例表明，Delaunay多邊形化網(wǎng)格自動生成技術(shù)不

7、但能生成多邊形的單元網(wǎng)格，而且能夠生成傳統(tǒng)有限元的三角形/四邊形計算網(wǎng)格。 七、以多邊形單元上的有理函數(shù)插值作為試函數(shù)，采用加權(quán)殘數(shù)法建立了求解勢問題偏微分方程的新型數(shù)值方法——有理單元法。討論了有理單元法計算誤差的來源。給出了三種不同的數(shù)值積分方案，討論了三種數(shù)值積分方案對計算誤差的影響，由此確定了一種使計算誤差最小的積分方案—中心三角形積分方案。數(shù)值算例表明，有理單元法求解溫度場分布問題具有令人滿意的精度。 八、以多

8、邊形單元上的有理函數(shù)插值作為試函數(shù)，采用Galerkin法建立了求解彈性力學(xué)問題的有理單元法。討論了計算剛度矩陣數(shù)值積分時積分點的數(shù)量對計算精度的影響，給出了有理單元法數(shù)值積分的優(yōu)化方案。數(shù)值算例表明，有理單元法在求解彈性力學(xué)問題時，不論是位移還是應(yīng)力都有較高的精度。 九、利用有理單元法對非均質(zhì)材料進行了數(shù)值模擬。通過在材料界面布置節(jié)點，由Delaunay多邊形化技術(shù)自動在圓形夾雜區(qū)域生成多邊形單元。與傳統(tǒng)有限元法相比，同樣的節(jié)