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文檔簡介
1、設(shè)t為N上的自映照,其具體的定義如下:t:N→N,t(n)={1/2nn≡0mod2,1/2(3n+1)n≡1mod2.并規(guī)定t0(n)=n,tm(n)=t(tm-1(n)),n,m∈N. 記M為滿足(A)m∈N,tm(v)≠1的自然數(shù)v的集合。令h(z)=∞∑n=0hnzn,(其中hn={1n∈M0n(∈)M)(*) 1994年L.Berg和G.Meinardus證明了:函數(shù)(*)是方程h(z3)=h(z6)+1/3z
2、2∑v=0λvh(λvz2)(**)在|z|<1內(nèi)的全純解,而且他們猜測h(z)=C0+C1z/1-z,其中λ=e2πi/3,C0,C1為常數(shù)。 本文證明了下述的結(jié)果: 定理1設(shè)函數(shù)(*)是方程(**)在C中的亞純解,則h(z)=k∑j=1Aj/z-zj+c,其中zj(j=1,2,…,k)為h(z)于C中的極點(diǎn),Aj(j=1,2,…,k)為非零常數(shù),c為常數(shù)。 若能進(jìn)一步證明k=1,并將h(z)沿單位圓周上的點(diǎn)解
3、析延拓到C上,則證明了L.Berg和G.Meinardus的猜測,進(jìn)一步可解決3n+1問題。 另一方面,本文推廣了多項(xiàng)式環(huán)上的abc猜想,得到多項(xiàng)式環(huán)上的abc猜想的初等簡潔的新證明和其他新證明;并給出了關(guān)于有理函數(shù)的類似結(jié)果;推廣了Davenprot定理,得到如下一些結(jié)果: 定理2設(shè)f,g,h∈C[t]是不為常數(shù)的互素多項(xiàng)式,且滿足f+g=h,則max(degf,degg,degh)≤n0(fgh)-n1其中C[t]為
4、復(fù)數(shù)域上的多項(xiàng)式環(huán),n0(fgh)為fgh的不同零點(diǎn)個數(shù),n1為∞作為f'/f-g'/g,f'/f-h'/h,g'/g-h'/h之零點(diǎn)的重級的最小值。 定理2推廣了Mason-Stother定理,減小了定理中不等式的上界。由定理2我們得到Mason-Stother定理的初等簡潔的新證法和有理函數(shù)的類似結(jié)果。 定理3設(shè)f,g,h為有相同的判別的極點(diǎn)個數(shù)且不全為常數(shù)的有理函數(shù),且滿足n0(1/fgh)=n0(1/f)+n0(
5、1/g)+n0(1/h),如果f+g=h,那么max(degf,degg,degh)≤n0(fgh)+n0(1/fgh)-1,其中n0(fgh)為fgh判別零點(diǎn)數(shù),n0(1/fgh)為fgh判別的有窮極點(diǎn)數(shù)。 定理3給出了有理函數(shù)情形下類似多項(xiàng)式環(huán)上的abc猜想的結(jié)果。若f,g,h為多項(xiàng)式時,定理3則為Mason-Stother定理。 定理4設(shè)f、g為C[t]中互質(zhì)的非常數(shù)多項(xiàng)式,則deg(f3-g2)≥1/2degf+
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