利用最優(yōu)化方法確定二階拋物型方程的低階項系數(shù).pdf

1、偏微分方程反問題是一個新興的研究領域。通常正問題研究由給定的方程和相應的初邊值條件來求方程的解。與正問題不同,反問題研究由解的部分已知信息來求定解問題中的某些未知量,如方程中的系數(shù),定解問題的區(qū)域或是某些定解條件。反問題大都具有不適定的特點,該特點也是反問題研究的難點所在。一個問題如果其解存在,唯一并且連續(xù)依賴于輸入數(shù)據(jù),就稱該問題是適定的,否則稱為不適定。由于定解數(shù)據(jù)常為試驗觀測數(shù)據(jù),難免有誤差,故而當一個問題不適定時,定解數(shù)據(jù)的微小

2、變化將會導致問題解的巨大變化,此時得到的解將毫無意義。因此解決反問題的關鍵在于尋找問題的適定性條件,使得原問題在新的條件下是適定的。
　　本文研究在已知一個二階拋物型方程的終端值的情況下,反求其低階項系數(shù)q的反問題。這種類型的反問題在諸如金融,物理等許多應用科學領域具有重要意義。根據(jù)未知系數(shù)q的維數(shù)不同,有兩類不同的問題分別記為問題P l和P2。問題P l中的未知系數(shù)q僅與空間變量T相關,而與時間變量t無關,即 g= q(x)。問

3、題P2中的未知系數(shù)q不僅與空間變量T相關,而且與時間變量t也相關,即 q= q(x,t)。問題P2通常稱為發(fā)展型的反問題。本文利用最優(yōu)化方法對兩類問題都作了深入分析。
　　全文共分為三個部分。
　　第一章對問題PI, P2及其相關的研究背景作了簡要介紹。
　　第二章主要從理論分析角度討論問題P1?！?.1分析了問題P l的強不適定性?！?.2將問題Pl化為一個最優(yōu)控制問題,并構(gòu)造了控制泛函?！?.3討論了控制問題及其道

4、近問題極小元的存在性?！?.4則給出了控制問題及其道近問題極小元所滿足的必要條件?！?.5證明了道近問題的解收斂于原控制問題的解。由于控制泛函非凸,一般來說沒有唯一性。最后一小節(jié)在假設T比較小的情況下,得到了極小元的局部唯一性。
　　第三章則主要從理論分析角度討論問題P2?！?.1分析了P2的強不適定性。問題P2與問題P l不同,直接利用附加條件整體重構(gòu)未知系數(shù)q(x,t)難以克服數(shù)值不穩(wěn)定的缺陷。§3.2將重構(gòu)q(x,t)的反問