Rohlin引理及其應(yīng)用.pdf

1、Rohlin引理是遍歷論中的—個(gè)基本工具，它首先在完備可分度量空間的非周期自同構(gòu)上得到證明(見[18]).其主要內(nèi)容是；設(shè)X是—個(gè)完備可分的度量空間，T：X→X是—個(gè)保測(cè)的非周期自同構(gòu)，μ是X上一個(gè)T-不變的Borel概率測(cè)度(即對(duì)任何可測(cè)集A∈ X，有μ(T-1 A)=μ(A)).則對(duì)每個(gè)ε>0，每個(gè)n∈N+，存在一個(gè)可測(cè)集R(即所謂的(n，ε)-Rohlin集)使得T-i(R)(j=0，1，…，n-1)兩兩不交，且μ(Uj=0n-i

2、T-j(R))>1-ε.特別地，Rohlin引理對(duì)生成子的構(gòu)造必不可少. 標(biāo)準(zhǔn)的遍歷論教材(見[7]，[9]，[17])中呈現(xiàn)的基本證明(見[11])用到了Kakutani塔型構(gòu)造從而要求映射的正向可測(cè)性，但在通常情況下一個(gè)可測(cè)映射不一定是正向可測(cè)的，因此我們覺得有必要給出一個(gè)不依賴此假設(shè)的初等證明，并且我們的假設(shè)從完備可分的度量空間推廣到了一般可分的度量空間上.我們這里改進(jìn)了Heinemann和Schmitt的證明(見[12]

3、)，他們用到的主要工具是Poincare回復(fù)定理，而我們不需要. 經(jīng)典遍歷論的一個(gè)主要研究對(duì)象是流(即作用群為R的動(dòng)力系統(tǒng))的作用.但由于技術(shù)上的原因，大部分理論都首先對(duì)離散(即作用群為Z)的情形進(jìn)行發(fā)展.接下來這個(gè)理論又?jǐn)U充到了一般的群上，如Zd、Rd、Abel群，等等.其自然的假設(shè)是順從群，在此情形下的Rohlin引理是：設(shè)G是一個(gè)可數(shù)的順從群，自由作用于Lebesgue空間(X，∑，μ)上，保持測(cè)度μ.設(shè)T∈ G為—個(gè)鋪砌