具有常曲率的Finsler空間以及L-可約的Finsler空間.pdf

1、具有常曲率的Finsler空間一直是Finsler幾何研究的重點之一.近年來，D.Bao和沈忠民先生對常曲率空間分類工作作出了重要貢獻(xiàn)，消除了困擾我們多年的疑惑，很大地提高了對常曲率空間的認(rèn)識，并再一次把研究具有常曲率的Finsler空間推向熱潮.其中，有一個問題引起了一些Finsler幾何學(xué)家的興趣.在二十世紀(jì)八十年代，法國數(shù)學(xué)家H.Akbar-Zadeh發(fā)現(xiàn)具有常曲率λ的Finsler空間一定滿足方程L：0+λF2C=0.自然地就問

2、，滿足方程L：0+λF2C=0的Finsler空間是否具有常曲率.本文首先就是針對這個問題展開的討論，主要獲得以下結(jié)論： 定理3.3(M，F(xiàn))是n(≥3)維的Finsler空間.如果F滿足方程L：0+c(x)F2C=0且具有標(biāo)量曲率K=K(x，y)，則存在標(biāo)量函數(shù)ρ(x)使得K=c(x)+ρ(x)e-3τ(x，y)/n+1. 定理3.4(M，F(xiàn))是n(≥3)維的Finsler空間.如果F滿足方程L：0+K(x，y)F2C

3、=0且具有標(biāo)量曲率K=K(x，y)，則K為常數(shù)，即(M，F(xiàn))是具有常曲率的Finsler空間. 定理3.5n(≥3)維非Riemann的Finsler空間(M，F(xiàn))滿足方程L：0+K(x，y)F2C=0.(M，F(xiàn))是具有常曲率的Finsler空間當(dāng)且僅當(dāng)(M，F(xiàn))具有標(biāo)量曲率K=K(x，y).在此情況下，K=K(x，y)是常數(shù). 定理3.6(M，F(xiàn))是完備的n(≥3)維Finsler空間.F滿足方程L：0+cF2C=0，

4、其中c為負(fù)常數(shù).若Cartan撓率C有界，則(M，F(xiàn))是Reimann空間. 定理3.7(M，F(xiàn))是n(≥3)維的射影平坦的Finsler空間，如果Ii：j：k和Jj：k都關(guān)于j，k對稱，則(M，F(xiàn))是常曲率空間.更進一步，如果(M，F(xiàn))是非零常曲率空間，則(M，F(xiàn))是Riemann空間. 推論3.8Ii：j：k關(guān)于i，j，k對稱的射影平坦的Finsler空間(M，F(xiàn))是具有常曲率的.在此情況下，Ji：k=0.

5、接著，本文還研究了L-可約的Finsler空間的性質(zhì).M.Matsumoto定義了C-可約的Finsler空間，并得到了它的分類.C-可約的Finsler空間一定是L-可約的Finsler空間，但是，反過來就不一定成立.本文是憑借Cartan撓率和Landsberg曲率的緊密聯(lián)系，實現(xiàn)了L-可約的Finsler空間向C-可約的Finsler空間的轉(zhuǎn)化，主要獲得以下結(jié)果： 定理4.2(M，F(xiàn))是具有迷向Landsberg曲率的Fi

6、nsler空間.(M，F(xiàn))是L-可約的當(dāng)且僅當(dāng)(M，F(xiàn))是C-可約的.在此情況下，F(xiàn)是Randers度量且其Douglas曲率D=0. 命題4.3如果L-可約Finsler空間(M，F(xiàn))具有常曲率K，則一定是C-可約的. 命題4.4L-可約的Finsler空間(M，F(xiàn))，如果滿足方程L：0：0+k(x，y)C=0，其中k(x，λy)=λ3k(x，y)，就一定是C-可約的. 定理4.5L-可約Finsler空間(M