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文檔簡介
1、本文研究這樣的一類捕食模型:捕食者不但有模型中被捕食者作為食物,而且還有其它固定的自然食物源.我們主要研究帶齊次Neumann邊界條件的捕食模型和帶混合邊界條件的捕食模型.對于帶齊次Neumann邊界條件的捕食模型,因為自擴散常常不能產(chǎn)生非常數(shù)正穩(wěn)態(tài)解,所以,我們在模型中引進了一種交叉擴散,這種交叉擴散描述了由于被捕食者的群體保護作用,捕食者避開大群的食物(被捕食者).這種交叉擴散現(xiàn)象在許多生態(tài)環(huán)境中出現(xiàn).本文主要使用度理論證明了這些捕
2、食模型在一定條件下存在非常數(shù)正穩(wěn)態(tài)解.同時,根據(jù)分歧理論,我們也研究了部分穩(wěn)態(tài)模型的非常數(shù)正解的局部或全局分歧,局部穩(wěn)定性以及漸近性.本文共分八章,具體如下: 第一章概述生態(tài)數(shù)學模型的背景、研究成果和進展.第二章介紹一些預(yù)備知識,我們將使用這些知識證明本文的捕食模型正穩(wěn)態(tài)解的存在性和非存在性. 第三章研究一個帶自擴散和混合邊界條件的捕食模型.在這個模型中,捕食者的增長率cu/γ+u2表示當食物密度u較小時它近似于cu/γ
3、,而當食物u的密度較大時捕食者的增長被抑制;并且被捕食者帶齊次Neumann邊界條件,而捕食者帶齊次Robin邊界條件.首先,我們證明了:如果b>d2λ1,那么,穩(wěn)態(tài)問題存在正解的充分必要條件是a>μ1(mθb)d1.同時,我們也討論了當b<λ1d2時捕食模型正穩(wěn)態(tài)解的存在性和非存在性.其次,我們獲得了正穩(wěn)態(tài)解的局部穩(wěn)定性和唯一性.最后,討論了當擴散參數(shù)充分大時穩(wěn)態(tài)問題和捕食模型的極限情況. 第四章繼續(xù)研究第三章的捕食模型,但是
4、,互換了邊界條件.我們獲得了與第三章類似的結(jié)果.在這種邊界條件下捕食模型存在正穩(wěn)態(tài)解的充要條件是a>mb+d1λ1. 第五章研究一個帶交叉擴散的Lotka-Volterra捕食模型.我們證明了如果當0<m1m2<1時m1b<a<2m1b/1-m1m2或當m1m2≥1時a>m1b使得m1~v>~u,其中(~u,~u)是捕食模型的常數(shù)正解,并且d1<m1~v-~u/μ1,d4>1/m1~v-~u,那么,存在適當?shù)?d1,d2,d3,
5、d4)使得捕食模型存在非常數(shù)正穩(wěn)態(tài)解.這說明i大的交叉擴散參數(shù)d4能產(chǎn)生非常數(shù)正穩(wěn)態(tài)模型.其次,我們也證明了如果上述a,d1和d4的條件有一個不成立,那么,捕食模型沒有從常數(shù)正解分歧出來的非常數(shù)正穩(wěn)態(tài)解. 第六章研究一個帶交叉擴散和轉(zhuǎn)化率為m2u/γ+u的捕食模型的非常數(shù)正穩(wěn)態(tài)解的存在性和非存在性.我們得到與第五章類似的結(jié)果.這時a的條件為m1b<a<(m1b+m1m2-γ)+√(m1b+m1m2-γ)2+4γm1b,d1和d4
6、的要求與第五章的形式一致.我們的結(jié)果表示在這個模型中大的交叉擴散參數(shù)d4也能產(chǎn)生非常數(shù)共存的穩(wěn)態(tài)模型. 第七章研究一個帶自擴散的比率依賴的捕食模型.我們證明了存在一個依賴于b的正數(shù)a0(b)使得:如果b<m1和a0(b)≤a<m1,那么,存在適當?shù)?d1,d2)使得捕食模型有非常數(shù)正穩(wěn)態(tài)解.而當a>m1時捕食模型沒有從常數(shù)正解分歧出來的非常數(shù)正穩(wěn)態(tài)解. 第八章是在第七章的模型的第二方程中引進交叉擴散.并且證明了存在正常數(shù)
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