關(guān)于序Γ_半群若干問題的研究.pdf

1、本文首先研究了序Γ-半群中的序Γ-群,序Γ-右群和右零序Γ-半群,然后研究了序Γ-半群的分解,給出了阿基米德序Γ-半群的半格及雙單序Γ-半群的半格的刻畫.最后給出了左單序Γ-半群的冪零擴(kuò)張及左阿基米德序Γ-半群的自然序帶的一些結(jié)果.本文共分六節(jié),各節(jié)主要內(nèi)容如下：
　　第一節(jié)主要給出本文將用到的基本概念和符號(hào).
　　第二節(jié)主要研究序Γ-群,序Γ-右群和右零序Γ-半群,并給出了一些結(jié)果.主要結(jié)果如下：
　　定理2.1設(shè)G

2、為序Γ-群,E為右零序Γ-半群,則G×E為右單序Γ-半群.
　　推論2.1設(shè)G為有單位元的序Γ-群,E為左可消的右零序Γ-半群,若對(duì)任意的g∈G,存在g-1∈G使得對(duì)于任意γ∈Γ有g(shù)γg-1=1,則G×E為序Γ-右群.
　　定理2.2設(shè)M為序Γ-右群,E(M)={x∈M｜(彐γ∈Γ)x≤xγx},則下列結(jié)論成立：
　　(1)M為正則的；
　　(2)E(M)≠0；
　　(3)對(duì)任意的b∈M,e∈E(M),存在

3、α∈Γ使得6≤eαb；
　　(4)對(duì)任意的e∈E(M),若Mγe為M的理想,則Mγe為M的序Γ-子群；
　　(5)對(duì)任意的f∈E(M),若MΓf為M的子序Γ-半群,則對(duì)任意x∈M,有x∈(MΓfΓE(M)].
　　第三節(jié)主要研究阿基米德子序Γ-半群的半格,雙阿基米德子序Γ-半群的半格,并用不同的等價(jià)條件對(duì)它們進(jìn)行了刻畫.主要結(jié)果如下：
　　定理3.1ξ為M的半格同余.
　　定理3.2設(shè)M為序Γ-半群,a∈M

4、,設(shè)N(a)為由a生成的M的濾子,則
　　N(a)={x∈M｜(x,a)∈ρ}.
　　定理3.3設(shè)M為序Γ-半群,則下列各款是等價(jià)的.
　　(1)M是M的阿基米德子序r-半群的半格；
　　(2)對(duì)任意a,b∈M,若(a,b)∈τ,則對(duì)于任意γ∈Γ,存在m∈Z+,β1,β2,…βm∈Γ,使得(αγα,bβ1bβ2b…bβmb)∈τ；
　　(3)對(duì)任意a,b∈M,γ∈Γ,若(a,b)∈η,則(αγα,b)∈η；

5、
　　(4)η2包含于η；
　　(5)μ=ξ是M上的最大的半格同余且μ的每個(gè)同余類是阿基米德子序r-半群；
　　(6)(（▽）α∈M)N(α)={b∈M｜(b,α)∈η}；
　　(7)N是M上的使每個(gè)同余類均為阿基米德子序Γ-半群的最大的半格同余.
　　定理3.4一個(gè)弱可換的序Γ-半群M是阿基米德序Γ-半群的半格,一般情況下分解不是惟一的,但M是惟一的阿基米德序r-半群的完全半格.
　　定理3.5設(shè)M

6、為序Γ-半群,則下列各款是等價(jià)的.
　　(1)M是弱可換的；
　　(2)τ包含于ηt,η包含于η2.；
　　(3)μt是M上的使得每個(gè)同余類均為雙阿基米德子序Γ-半群的最大半格同余；
　　(4)M是M的雙阿基米德子序Γ-半群的半格；
　　(5)對(duì)任意a∈M,有N(α)={b∈M｜(b,α)∈ηt}；
　　(6)對(duì)任意a,b∈M,γ∈Γ,有(b,αγb)∈ηt,(α,αγb)∈ηt；
　　(7)N

7、是M上的使得每個(gè)同余類(x)N均為雙阿基米德子序Γ-半群的最大半格同余.
　　第四節(jié)主要研究了強(qiáng)左正則序Γ-半群,并且刻畫了左單子序Γ-半群的半格及雙單子序Γ-半群的半格.主要結(jié)果如下：
　　定理4.1設(shè)M為序Γ-半群,則下列各條是等價(jià)的.
　　(1)M為強(qiáng)左正則的；
　　(2)M的每個(gè)左理想是強(qiáng)半素的.
　　定理4.2設(shè)M為序Γ-半群,且M為左正規(guī)的,則下列各條是等價(jià)的.
　　(1)M是強(qiáng)左正則且左

8、duo的；
　　(2)對(duì)任意的x∈M,有N(x)={y∈M｜x∈(Mγy])；
　　(3)N=L；
　　(4)M的每個(gè)左理想L={(x)N|x∈L}；
　　(5)對(duì)任意x∈M,(x)N為M的左單子序Γ-半群；
　　(6)M為左單子序Γ-半群的半格；
　　(7)M的每個(gè)左理想是右理想且為強(qiáng)半素的.
　　定理4.3設(shè)M為左正規(guī)的序Γ-半群,則下列各條是等價(jià)的.
　　(1)M是左單序Γ-半群的鏈

9、；
　　(2)M的每個(gè)左理想是右理想且為強(qiáng)素的；
　　(3)M是強(qiáng)左正則且左duo的且M的所有左理想集關(guān)于集合的包含關(guān)系構(gòu)成鏈；
　　(4)M是左duo的且對(duì)于任意x,y∈M,γ∈Γ,有x∈(Mγxγy]或y∈(Mγxγy].
　　定理4.4設(shè)M為序Γ-半群,則以下各款是等價(jià)的.
　　(1)M是強(qiáng)t正則duo的；
　　(2)M是duo的且M的每個(gè)左理想和右理想均為強(qiáng)半素的；
　　(3)M是強(qiáng)t正

10、則的且對(duì)任意x∈M,有(xΓM]=(MΓx]；
　　(4)對(duì)任意x∈M,有N(x)={y∈M｜x∈(yΓMΓy]}；
　　(5)N=H=B={(x,y)∈M×M｜B(x)=B(y)}；
　　(6)設(shè)B為M的雙理想,則B}=U{(x)N｜x∈B}；
　　(7)對(duì)任意x∈M,有(x)N為B單子序Γ-半群；
　　(8)M為B單子序Γ-半群的半格.
　　第五節(jié)主要研究左單序Γ-半群的冪零擴(kuò)張,并且用阿基米德性

11、及強(qiáng)正則性對(duì)它進(jìn)行了刻畫.主要結(jié)果如下：
　　定理5.1設(shè)M為擬交換的阿基米德序Γ-半群,如果Sintra(M)≠0,那么
　　(1)M有一個(gè)核K(M)使得
　　(▽a∈Sintra(M))K(M)=(MΓaΓM],Sintra(M)包含于K(M)；
　　(2)M是單序Γ-半群K(M)的冪零擴(kuò)張.
　　定理5.2設(shè)M為擬交換的序Γ-半群,若I為M的單理想,則I為左單的.
　　定理5.3設(shè)M為擬交換的序