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文檔簡介
1、本論文主要由下面四個課題組成:第一個課題研究了G-布朗運動驅(qū)動的一維反射型隨機(jī)微分方程(以下簡稱RGSDE)。在第二個課題里,我們考慮了G-布朗運動驅(qū)動的系數(shù)滿足局部利普希茨條件的隨機(jī)微分方程的解的存在唯一性。第三個課題初步探討了G-布朗運動驅(qū)動的多維受限擴(kuò)散過程。最后一個課題研究了一類終端有界的系數(shù)滿足平方增長條件的二階倒向隨機(jī)微分方程的解的存在唯一性。事實上,前三個課題是在Peng[58-60]建立的一種非線性數(shù)學(xué)期望(也就是G-期
2、望)的框架下進(jìn)行的研究。在研究過程中,我們同時討論了一些G-期望框架下隨機(jī)微積分的內(nèi)容。而最后一個課題在Soner等[71,72]建立的框架下拓展了的二階倒向隨機(jī)微分方程(以下簡稱2BSDE)理論,這種理論和G-期望是密切相關(guān)的。四個課題的共同點是:我們在一族概率測度下來考慮隨機(jī)微分方程,這與經(jīng)典情形是很不同的。并且,我們考慮的這一族概率測度可以是相互奇異的,這使得此類方程可以應(yīng)用于解決金融數(shù)學(xué)中的波動率不確定性問題。
下
3、面我們將更進(jìn)一步的介紹論文的內(nèi)容以及論文的結(jié)構(gòu)。
在第一章中,我們首先在G-期望的框架下建立了關(guān)于增過程的隨機(jī)積分,并推廣了相應(yīng)的G-伊藤公式。隨后,我們研究了一維反射G-布朗運動,給出了其存在唯一性。接著,我們討論了利普希茨系數(shù)的一維RGSDE的解的先驗估計,并得出了此類方程解的存在唯一性。最后,我們給出了此類方程解的比較定理。
本章主要來自于:Lin,Y.:StochasticDifferentialEq
4、uationsDrivenbyG-Brown-ianMotionwithReflectingBoundaryConditions.ElectronicJournalofProbability18:no.9,1-23,2013.
在第二章中,我們首先重述了Li和Peng[40]文中對G-布朗運動局部可積的隨機(jī)過程的定義,并詳細(xì)介紹了Li和Peng[40]文中定義此類隨機(jī)過程的G-伊藤積分的思想。在本章的第四部分,我們在G-期
5、望的框架下定義了關(guān)于有界變差過程的隨機(jī)積分,并且再一次推廣了G-伊藤公式。最后,在本章的第五部分,我們證明了兩類系數(shù)滿足局部利普希茨條件的GSDE的解的存在唯一性。
在第三章中,我們通過懲罰法研究了凸區(qū)域內(nèi)的G-布朗運動驅(qū)動的多維受限擴(kuò)散過程,并在系數(shù)為有界利普希茨函數(shù)的條件下,得到了一些收斂性結(jié)果。
在第四章中,我們研究了終端有界并且系數(shù)滿足平方增長條件的2BSDE。在本章的第三部分,我們給出了這類方程的解
6、的表示定理以及先驗估計,并通過這些結(jié)論得到了解的唯一性。在本章的第四部分,我們通過點點的構(gòu)造證明了這類方程解的存在性。在本章的最后一部分,我們將這類方程應(yīng)用于解決波動率不確定時穩(wěn)健的投資組合期望效用最大化問題。
本章主要來自于:Lin,Y.:ANewResultforSecondOrderBSDEswithQuadraticGrowthanditsApplications.arXiv:1301.0457,已投稿。
7、 下面我們給出本論文的主要結(jié)論:
1.G-布朗運動驅(qū)動的一維反射型隨機(jī)微分方程
本章的主要結(jié)果建立在(M)pG([0,T])這族空間上,其中p≥1。關(guān)于這族空間的定義可以在Peng[58-60]文中找到。
由于一維反射型隨機(jī)方程中出現(xiàn)了一個推動方程解的增過程,因此,為了研究這類方程,我們首先需要在G期望的框架下建立關(guān)于增過程的隨機(jī)積分的概念。這個概念由下述幾個定義給出:
定義1
8、.對于一個隨機(jī)過程X,如果存在一個極集(polarset)A,對于所有的ω∈Ac,X.(ω):t(→)Xt(ω)都是[0,T]上的連續(xù)映射,那么,我們說擬必然地(quasi-surely)X的所有軌道都是連續(xù)的。我們將所有這樣的X組成的空間記為Mc([0,T])。
定義2.我們考慮這樣的隨機(jī)過程K∈Mc([0,T]):存在一個極集A,對于所有的ω∈Ac,K.(ω):t(→)Kt(ω)都是[0,T]上的增函數(shù)。我們將所有這樣
9、的K組成的空間記為MI([0,T])。
這樣,我們就可以依軌道地以黎曼-斯蒂爾杰斯積分來定義G-期望下關(guān)于增過程的隨機(jī)積分:
定義3.給定X∈Mc([0,T])和K∈MI([0,T]),我們將X關(guān)于K的隨機(jī)積分定義為:(∫T0XtdKt)(ω)={∫T0Xt(ω)dKt(ω),ω∈Ac;0,ω∈A,其中,A是一個極集,在其余集上,X的軌道是關(guān)于t連續(xù)的,并且,K的軌道是關(guān)于t連續(xù)且遞增的。
倘若
10、我們考慮一個(M)pG([0,T])中的過程,其中p≥1,我們不一定能找到一個p'∈[1,p],使其關(guān)于增過程的隨機(jī)積分屬于Lp'G([0,T])。不過,在一些特殊情況下,這個斷言是成立的,比如:
命題1.令K∈MI([0,T])∩(M)2G([0,T]),KT∈L2G(ΩT),并且φ:(R)→(R)是一個利普希茨函數(shù)。那么,∫T0φ(Kt)dKt屬于L1G(ΩT)。
命題2.令X為一個擬必然的具有連續(xù)軌道的
11、G-伊藤過程,其滿足表達(dá)式:Xt=x+∫t0fsds+∫t0hsds+∫t0gsdBs,0≤t≤T,(1)其中,存在一個p>2,使得f,h,g∈(M)pG([0,T])。假設(shè)K∈MI([0,T])∩(M)qG([0,T]),并且KT∈LqG(ΩT),其中1/p+1/q=1。那么,∫T0XtdKt屬于L1G(ΩT)。
我們注意到,Peng[60]在G-期望的框架下建立了伊藤公式,使其能夠應(yīng)用于系數(shù)有界的G-伊藤過程。在
12、本章中,我們推廣了這一結(jié)果,使得G-伊藤公式能夠適用于一個由G-伊藤過程與增過程K加和而成的過程:Xt=Xs+∫tsfudu+∫tshudu+∫tsgudBu+Kt-Ks.首先,我們考慮了如下情形,即,待求導(dǎo)的函數(shù)Φ是二階連續(xù)可微的,并且各階導(dǎo)數(shù)有界且利普希茨連續(xù)。
引理1.令Φ∈C2((R))為一個各階導(dǎo)數(shù)皆有界且利普希茨連續(xù)的函數(shù)。再令f,h和g為(M)2G([0,T])中的有界過程,并且K∈MI([0,T])∩
13、(M)2G([0,T])滿足:對于任意的t∈[0,T],lims→t(E)[|Kt-Ks|2]=0.(2)那么,我們有Φ(Xt)-Φ(Xs)=∫tsdΦ/dx(Xu)fudu+∫tsdΦ/dx(Xu)hudu+∫tsdΦ/dx(Xu)gudBu+∫tsdΦ/dx(Xu)dKu+1/2∫tsd2Φ/dx2(Xu)g2udu,q.s..
值得注意的是,與經(jīng)典框架下的情形不同,為了得到上述G-伊藤公式,我們需要增過程
14、K滿足額外的正則性條件(2)。這是因為,我們需要K能在(M)pG([0,T])里被自身截斷所構(gòu)成簡單過程逼近。
隨后,我們考慮了更一般的情形:
定理1.令Φ∈C2(R),其二階導(dǎo)數(shù)d2Φ/dx2滿足多項式增長條件。再令f,h和g為(M)2G([0,T])中的有界過程,并且K∈MI([0,T])∩(M)2G([0,T])滿足:對于任意的t∈[0,T],lims→t(E)[|Kt-Ks|2]=0;對于任意的p>2
15、,(E)[KpT]<+∞。那么,我們有Φ(Xt)-Φ(Xs)=∫tsdΦ/dx(Xu)fudu+∫tsdΦ/dx(Xu)hudu+∫tsdΦ/dx(Xu)gudBu+∫tsdΦ/dx(Xu)dKu+1/2∫tsd2Φ/dx2(Xu)g2udu,q.s..
在本章余下的部分,我們首先通過確定性的Skorokhod問題的解研究了反射G-布朗運動,得出了其存在唯一性:
定理2.對于任意的p≥1,存在唯一
16、的一對隨機(jī)過程(X,K)∈(M)pG([0,T])×(MI([0,T])∩(M)pG([0,T])),使得Xt=Bt+Kt,0≤t≤T,q.s.,其中,(a)X是非負(fù)的;(b)K0=0;并且(c)∫T0XtdKt=0,q.s.。
將G-布朗運動B替換成一個(M)pG([0,T])中的G-伊藤過程,其中p>2,上述定理依然成立:
定理3.假設(shè)p>2,我們考慮一個擬必然地具有連續(xù)軌道的G-伊藤過程y,它由表達(dá)式(
17、1)所定義,且(1)中的系數(shù)都是(M)pG([0,T])中的過程。那么,存在唯一的一對隨機(jī)過程(X,K)∈(M)pG([0,T)×(MI([0,T])∩(M)pG([0,T])),使得Xt=K+Kt,0≤t≤T,q.s.,其中,(a)X是非負(fù)的;(b)K0=0;并且(c)∫Y0XtdKt=0,q.s.。
其后,我們研究了如下形式的一維RGSDE:Xt=x+∫t0fs(Xs)ds+∫t0hs(Xs)ds+∫t0gs(X
18、s)dBs+Kt,0≤t≤T,q.s.,(3)其中,(A1)初值x∈(R);(A2)存在一個p>2,系數(shù)f,h,g:Ω×[0,T]×(R)→(R)滿足如下條件:對于任意的x∈(R),f(x),h.(x),g.(x)∈(M)pG([0,T]);(A3)系數(shù)f,h和g關(guān)于x滿足利普希茨條件,即,對于任意的t∈[0,T]和x,x'∈(R),|ft(x)-ft(x')|+|ht(x)-ht(x')|+|gt(x)-gt(x')|≤CL|x-x'
19、|,q.s.;(A4)反射壁S是一個G-伊藤過程且它的系數(shù)都屬于(M)pG([0,T])。此外,我們還假設(shè)S0≤x,q.s.。
我們說一對取值于(R)的隨機(jī)過程(X,K)是RGSDE(3)解,如果它滿足(3),且:(i)X∈(M)pG([0,T]),且Xt≥St,0≤t≤T,q.s.;(ii)K∈MI([0,T])∩(M)pG([0,T]),且K0=0,q.s.;(iii)∫T0(Xt-St)dKt=0,q.s.。
20、 通過確定性的Skorokhod問題的解,我們不難得出關(guān)于增過程K的表示,然后進(jìn)一步推出如下兩個重要的先驗估計:命題3.假設(shè)(X,K)為(3)的解。那么,存在一個常數(shù)C>0,使得(E)[sup0≤t≤T|Xt|p]+(E)[KpT≤C(|x|p+∫T0((E)[|ft(0)|p]+(E)[|ht(0)|p]+(E)[|gt(0)|p])dt十(E)[sup0≤t≤T|St+|p]).
定理4.令(x1,f1,h1,g
21、1,S1)和(x2,f2,h2,g2,S2)為兩組滿足(A1)-(A4)的參數(shù),并假設(shè)這兩組參數(shù)所決定的RGSD分別存在一個解對(X1,K1)和(X2,K2)。我們規(guī)定△x:=x1-x2,△f:=f1-f2,△h:=h1-h2,△g:=g1-g2;△S:=S1-S2,△X:=X1-X2,△K:=K1-K2.那么,存在一個常數(shù)C>0,使得(E)[sup0≤t≤T|△Xt|p]≤C|△x|p+∫T0((E)[|△ft(X1t)|p]+(E)
22、[|△ht(X1t)|p]+(E)[|△gt(X1t)|p])dt十(E)sup0≤t≤T|△St|p].
這樣,RGSDE(3)的解在(M)pG([0,T])×(MI([0,T])∩(M)pG([0,T]))中的唯一性可以被看成上述第二個先驗估計的推論。
此后,我們通過皮卡迭代證明了RGSDE(3)的解的存在性。綜上所述,我們有如下存在唯一性定理:
定理5.假設(shè)(A1)-(A4)成立。那么,在
23、(M)pG([0,T])×(MI([0,T])∩(M)pG([0,T]))中存在唯一的一對隨機(jī)過程(X,K)滿足RGSDE(3)以及(i)-(iii)。
在本章的最后,我們應(yīng)用先前給出的G-伊藤公式,得到了關(guān)于RGSDE(3)的解的比較定理:
定理6.給定兩個RGSDE,其系數(shù)分別滿足(A1)-(A4)。我們又假設(shè)如下條件:(1)x1≤x2,且g1=g2=g;(2)對于任意的x∈(R),f1t(x)≤f2t(
24、x);h1t(x)≤h2t(x);且S1t≤S2t,0≤t≤T,q.s.。假設(shè)(Xi,Ki)分別是參數(shù)為(xi,fi,hi,g,Si)的RGSDE的解,其中i=1,2。那么,我們有X1t≤X2t,0≤t≤T,q.s..
2.局部化方法與G-布朗運動驅(qū)動的隨機(jī)微分方程
我們首先重述了Li和Peng[40]文中對G-布朗運動局部可積的隨機(jī)過程的定義,并詳細(xì)介紹了Li和Peng[40]文中定義此類隨機(jī)過程的G-伊藤
25、積分的思想。
隨后,我們定義了一個新的空間MFv([0,T];(R)n),即,所有的n維擬必然的具有連續(xù)和有界變差軌道的隨機(jī)過程的集合。與上一章使用的方法類似,我們可以定義G-期望框架下關(guān)于有界變差過程的隨機(jī)積分。在給出相關(guān)定義之后,我們沿用Li和Peng[40]文中的思路,考慮了更為一般的G-伊藤公式,其中Φ只要求二階連續(xù)可微,且X是一個G-伊藤過程和一個有界變差過程的加和:Xvt=xv0+∫t0fvsds+∫t0hvi
26、jsd
證明這個結(jié)論主要分為兩步:第一步,我們先假設(shè)Φ及其各階導(dǎo)數(shù)有界且一致連續(xù),并且K∈MFV([0,T];(R)n)是有界的過程;第二步,我們定義了一個停時列{μm}m∈N,使得Φ(X)和K可以分別用[Φ(X.∧μm)}m∈N和{K.∧μm}m∈(N)來逼近,這兩個序列中的元素滿足上一步的條件。
這一部分的內(nèi)容主要由下列一個引理和
27、一個定理組成:引理2.假設(shè)Φ∈C1,2([0,T]×(R)n)是一個有界函數(shù),其各階導(dǎo)數(shù)(e)tΦ,(e)xΦ,(e)2xxΦ也有界且一致連續(xù)。X是一個由(4)定義的過程,其系數(shù)fv和hvij屬于M1*([0,T]),gvj屬于M2*([0,T]),其中,v=1….,n,i,j=1….,d。K是MFV([0,T];(R)n)中一個一致有界的過程,并滿足:存在一個α>0,對于任意的0≤u1≤T,limu2→u1(E)[|Ku2-Ku1|α
28、]=0.那么,對于任意的t∈[0,T],我們有Φ(t,Xt)-Φ(0,xo)=((e)tΦ(s,Xs)+(e)xvΦ(s,Xs)fvs)ds+∫t0((e)xvΦ(s,Xs)hvijs+1/2(e)2xμxvΦ(s,Xs)gμisgvjs)d
定理7.令Φ∈C1,2([0,T]×(R)n),且X由(4)定義
29、,其系數(shù)fv和hvij屬于M1w([0,T]),gvj屬于M2w([0,T]),其中,v=1,…,n,i,j=1,…,d。假設(shè)K屬于MFV([0,T];(R)n),并滿足:存在一個α>0,對于任意的0≤u1≤T,limu2→u1(E)[|Vu20(K)-Vu10(K)|α]=0.那么,(5)仍然成立。
特別的,(5)中的G-伊藤積分可以由Li和Peng[40]文中的思想給出,而其他的隨機(jī)積分都可以依軌道地在勒貝格-斯蒂爾吉
30、斯的意義下定義。
在本章余下的部分,我們考慮如下形式的多維GSDE:Xt=x+∫t0f(s,Xs)ds+∫t0h(s,Xs)ds+∫t0g(s,Xs)dBs,0≤t≤T,q.s..(6)
假設(shè)上述GSDE的系數(shù)是利普希茨的,我們有以下存在唯一性定理:
定理8.我們假設(shè)如下條件:(H1)存在一個p≥2,對于任意的x∈(R),fv(·,x),hvij(·,x),gvj(·,x)∈Mp*([
31、0,T]),其中,v=1,…,n,i,j=1,…,d;(H2)系數(shù)f,h和g關(guān)于x是一致利普希茨的,也就是說,對于任意的t∈[0,T]和x,x'∈(R)n,|f(t,x)-f(t,x')|+||h(t,x)-h(t,x')||+||g(t,x)-g(t,x')||≤C|x-x'|,q.s.,其中,||·||是矩陣的希爾伯特-施密特范數(shù)。
那么,(6)的解X在MMp*([0,T];(R)n)中存在唯一,并且,我們可以在(c)
32、下找到它的一個軌道關(guān)于t連續(xù)的修正。假設(shè)x,y∈(R)n是兩個不同的初值,令Xx和Xy表示對應(yīng)于這兩個初值的(6)的解。那么,存在一個僅與p,n,T和CL有關(guān)的常數(shù)C>0,使得E[sup|Xxt-Xyt|p]≤C|x-y|p.t∈[0,T]
利用停時技術(shù),我們可以考慮更一般的GSDE,也就是非利普希茨系數(shù)的GSDE,其解可以通過利普希茨系數(shù)的GSDE的解來逼近。在本章中,我們考慮了兩類非利普希茨系數(shù)的GSDE,第一類:GS
33、DE的系數(shù)的利普希茨常數(shù)是關(guān)于t的函數(shù);第二類:GSDE的系數(shù)是時齊的,關(guān)于x局部利普希茨,且滿足李雅普諾夫穩(wěn)定性條件。
定理9.我們假設(shè)如下條件:(H1')存在一個p≥2,對于任意的x∈(R),關(guān)于同一停時列{σm}m∈(N),fv(·,x),hvij(·,x),gvj(·,x)∈Mpw([0,T]),其中,v=1,…,n,i,j=1,…,d;(H2')存在一個極集A,在這個極集之外,系數(shù)f,h和g關(guān)于x滿足局部利普希茨
34、條件,也就是說,對于任意的t∈[0,T]和x,x'∈(R)n,|f(t,x)(ω)-f(t,x')(ω)|+||h(t,x)(ω)-h(t,x')(ω)||+||g(t,x)(ω)-g(t,x')(ω)||≤G(ω)|x-x'|,其中,C是一個非負(fù)過程,滿足:在這個極集A之外,其軌道C.(ω)在[0,T]上連續(xù)。
那么,⑹的解在X∈Mpω([0,T];(R)n)中存在唯一,并且我們可以在(C)下找到它的一個軌道關(guān)于t連續(xù)的
35、修正。
定理10.我們假設(shè)如下條件:(H2”)系數(shù)fv,hvij和gvj:(R)n→(R)是確定性的函數(shù),其中,v=1,…,n,i,j=1,…,d,且關(guān)于x滿足局部利普希茨條件,也就是說,對于任意的x,x'∈{x:|x|≤R},存在一個僅與R有關(guān)的正數(shù)CR,使得如下不等式成立:|f(x)-f(x')|+||h(x)-h(x')||+||g(x)-g(x')||≤CR|x-x'|;(H3”)存在一個確定性的李雅普諾夫函數(shù)V,
36、滿足:V∈C1,2([0,T]×(R)n);V≥1;且當(dāng)R→+∞,inf|x|≥Rt∈[0,T]infV(t,x)→+∞.此外,存在一個常數(shù)CLY≥0,使得對于所有的(t,x)∈[0,T]×(R)n,(L)V(t,x)≤CLYV(t,x),其中,(L)是按如下方式定義的微分算子:(L)V(t,x):=(e)tV(t,x)+(e)xvV(t,x)fv(x)+supS∈∑((e)xvV(t,x)hvij(x)σSij+1/2(e)2xμxv
37、V(t,x)gμi(x)gvj(x)σSij),其中,S:=(σSij)di,j=1∈∑(cs)d。
那么,(6)的解X在Mpw([0,T];(R)n)中存在唯一,并且我們可以在(c)下找到它的一個軌道關(guān)于t連續(xù)的修正。此外,我們還有如下估計:(E)[V(t,Xxt)]≤eCLYTV(0,x).
3.G-布朗運動驅(qū)動的多維受限擴(kuò)散過程
本章的主要結(jié)論建立在M2*([0,T])這個空間上,關(guān)于這個
38、空間的定義可以在Li和Peng[40]文中找到。
給定一個開的凸區(qū)域(o),我們在其上討論如下形式的G-布朗運動驅(qū)動的多維受限擴(kuò)散過程:Xt=x+∫t0f(s,Xs)ds+∫t0h(s,Xs)ds+∫t0g(s,Xs)dBs-Kt,0≤t≤1,q.s.,(7)其中,K是一個推動X的有界變差過程,使X停留在(o)的閉包內(nèi)。
令p=2,我們假設(shè)(7)的系數(shù)f,h和g滿足上一章中的(H1)和(H2)。我們
39、說,一對過程(X,K)是n維反射型GSDE(7)的解,如果
(i)X和K都是屬于M2*([0,1];(R)n)的過程,并且,在一個極集A之外,二者在[0,1]上具有連續(xù)的軌道;
(ii)對于所有的ω∈Ac,X.(ω)取值于(o);K(ω)是[0,1]上的有界變差函數(shù),且K0(ω)=0;
(iii)假設(shè)Z是一個滿足下列條件的過程:對于所有的ω∈Ac,Z(ω)取值于(o),且在[0,1]上連續(xù)。那么
40、,對于任意的t∈[0,1],∫t0(Xt(ω)-Zt(ω))dKt(ω)≥0,(V)ω∈Ac.
除了(H1)和(H2)之外,我們在本章中還假設(shè)如下的(H3):(H3)對于所有的x∈(R)n,fv(·,x),hvij(·,x)和gvj(·,x)一致有界,其中,v=1,…,n,i,j=1,…,d。
受Menaldi[50]一文的啟發(fā),我們構(gòu)造了如下G-擴(kuò)散過程序列,其每一個元素都是一個系數(shù)滿足利普希茨條件的GSD
41、E的解,并且末尾包含一個懲罰項:Xεt=x+∫t0f(s,Xεs)ds+∫t0g(s,Xεs)dBs-1/ε∫t0β(Xεs)dt,0≤t≤1,q.s..
我們證明了如下兩個收斂性結(jié)果,并且得到了n維反射型GSDE(7)的解的存在唯一性定理:對于任意的p≥1,當(dāng)ε,ε'→0,(E)[sup|Xεt-Xε't|p]→0;(E)[sup0≤t≤1|1/ε∫t0β(Xεs)ds-1/ε'∫t0β(Xε's)ds|p]→0.
42、> 定理11.假設(shè)(H1)-(H3)成立。那么,(7)的解(X,K)在M2*([0,1];(R)n)×(MFV([0,1];(R)n)∩M2*([0,1];(R)n))中存在唯一。
4.系數(shù)滿足平方增長條件的二階倒向隨機(jī)微分方程
本章的主要結(jié)果建立在Soner等[70,71]文中所建立的擬必然的隨機(jī)分析的框架下。2BSDE理論由Cheridito等[7]以及Soner等[71,72]開創(chuàng),其后,Poss
43、ama(i)和Zhou[63]研究了系數(shù)滿足平方增長條件的情形。但是,為了克服技術(shù)上的問題,Possama(i)和Zhou[63]除了假設(shè)系數(shù)滿足平方增長條件外,還引入了一些額外的條件,而這些條件使得這類2BSDE的應(yīng)用性受到了一定的限制。本章的目的就是去除這些額外的條件,從而得到更為一般的結(jié)果。
在本章中,我們在一族相互奇異的概率測度PH上考慮如下方程:Yt=(ξ)+∫1t(F)s(Ys,Zs)ds-∫1tZsdBs+K
44、1-Kt,0≤t≤1,PH-q.s.,(8)其中,PH-q.s.意味著上述方程在每個(P)∈PH下a.s.成立。此外,K的軌道是遞增的,且K滿足一個最小值條件。
在本章中,我們假設(shè)2BSDE的系數(shù)F:Ω×[0,1]×(R)×(R)d×DFt→R滿足如下條件:(A1)DFt(y,z)=DFt與(ω,y,z)無關(guān);(A2)F是F-循序可測的且關(guān)于ω一致連續(xù);(A3)F關(guān)于(y,z)連續(xù)且滿足平方增長條件,也就是說,存在一個三元
45、組(α,β,γ)∈(R)+×(R)+×(R)+,使得對于所有的(ω,t,y,z,a)∈Ω×[0,1]×(R)×(R)d×DFt,|Ft(ω,y,z,a)|≤α+β|y|+γ/2|a1/2z|2;(A4)F關(guān)于y滿足一致利普希茨條件,也就是說,存在一個常數(shù)μ>0,使得:對于任意的(ω,t,y,y',z,a)∈Ω×[0,1]×(R)×(R)×(R)d×DFt,|Ft(ω,y,z,a)-Ft(ω,y',z,a)|≤μ|y-y'|;(A5)F關(guān)
46、于z滿足局部利普希茨條件,也就是說,對于任意的(ω,t,y,z,z',a)∈Ω×[0,1]×R×(R)d×(R)d×DFt,|Ft(ω,y,z,a)-Ft(ω,y,z',a)|≤C(1+|a1/2z|+|a1/2z'|)|a1/2(z-z')|.
我們注意到,在經(jīng)典的隨機(jī)分析框架內(nèi)獲得系數(shù)滿足平方增長條件的BSDE的適定性也需要類似的條件(參見:Kobylanski[35]和Morlais[51]),并且本章所采用的這些條
47、件比Possama(i)和Zhou[63]文中采用的要更為一般。
與Possama(i)和Zhou[63]文中類似,在終端(ξ)一致有界的條件下,我們可以得到2BS-DE(8)的解關(guān)于經(jīng)典BSDE的解的表示定理,以及一些先驗估計。利用這些結(jié)果,我們就能得到2BSDE解的唯一性。
為了證明2BSDE(8)的解的存在性,我們首先證明了如下關(guān)鍵引理:引理3.假設(shè)(A1)-(A5)成立。對于給定的(ξ)∈L∞H和一個
48、固定的P∈PH,我們有,對于每一個t∈[0,1]以及(P)-a.s.ω∈Ω,y(P)t(1,(ξ))(ω)=y(P)t,ωt,t,ω(1,(ξ)).(9)
在上述引理中,(9)式的兩側(cè)都是經(jīng)典BSDE的解。倘若2BSDE的系數(shù)滿足利普希茨條件,那么,這個引理可以很容易的用皮卡迭代來證明。在本章的假設(shè)下,我們依軌道地應(yīng)用了經(jīng)典BSDE的單調(diào)收斂定理,以得到相應(yīng)的結(jié)論。
此后,我們先假設(shè)終端(ξ)關(guān)于ω一致連續(xù)且
49、一致有界,并依軌道地定義了如下過程:對于每一個(ω,t)∈Ω×[0,1],Vt(ω):=sup(p)t∈PtHy(P)tt,t,ω(1,(ξ)).
隨后,根據(jù)Soner等[72]文中提供的思路,我們證明了V+t=limQ∩(t,1](∈)(r)↓tV(r),0≤t≤1,PH-q.s.,定義了一個2BSDE(8)的解。
而后,我們利用解的先驗估計,可以將這個關(guān)于存在性的結(jié)果一般化,以得到本章的主要結(jié)論:
50、 定理12.假設(shè)(A1)-(A5)成立,對于給定的(ξ)∈(L)∞H,2BSDE(8)的解(Y,Z)在(D)∞H×(H)2H中存在唯一。
在本章的末尾,我們通過應(yīng)用系數(shù)滿足平方增長條件的2BSDE理論,重新考慮了Matoussi等[49]文中建立的金融模型,并給出了一類波動率不確定時穩(wěn)健的投資組合期望效用最大化問題的解。由于系數(shù)滿足平方增長條件的2BSDE理論在本章中得以一般化,其解的存在唯一性不再依賴一些在實際運用
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