一類具積分項非線性偏微分方程的初邊值問題.pdf

1、積分微分方程是近年來研究十分活躍的一個課題，其中來源于粘彈性力學的一些積分微分方程尤其為人們所重視。本文考慮有限長粘彈性梁沿軸向的振動問題。即如下一類非線性積分微分方程 utt+auxxxt+σ(uxxx)x+∫'0λ(t-s)σ(uxxx)xds=0，0＜x＜1，t＞0，(1)的如下初邊值問題u(0，t)=u(1，t)=uxx(0，t)=uxx(1，t)=0，t≥0，(2)u(x，0)=(ψ)(x)，ut(x，0)=ψ(x)，

2、0≤x≤1，(3)的整體強解的存在性和唯一性，以及整體經典解的存在性。 首先，借助于Volterra積分方程理論，將(1)-(3)等價轉化為如下方程的初邊值問題 utt+auxxxxt+buxxxx+cut+du+σ(uxxx)x+a∫'0μ'(t-s)uxxxx(x，s)ds+∫μ"(t-s)u(x，s)ds=g(x，t)，0＜x＜1，t＞0，(4)u(0，t)=u(1，t)=uxx(0，t)=uxx(1，t)=0，t

3、≥0，(5)u(x，0)=(ψ)(x)，ut(x，0)=ψ(x)，0≤x≤1，(6)其中g(x，t)=μ(t)ψ(x)+μ'(t)(ψ)(x)+aμ(t)(ψ)(4)(x)，b=aμ(0)＞0，c=μ(0)＞0，d=μ'(0)＞0。并應用Galerkin方法證明了問題(4)-(6)在一定條件下存在整體強解。 其次，又將(4)-(6)轉化為初值為零的初邊值問題，利用前面已證的一些引理和推論證明了整體強解的唯一性。 最后，在