Kaehler流形上的超全純理論和Clifford分析.pdf

1、多復(fù)變函數(shù)論和單復(fù)變函數(shù)論在本質(zhì)上有許多不同．例如在多復(fù)變數(shù)中有著名的Hartogs現(xiàn)象，在單復(fù)變數(shù)中卻沒有；著名的Riemann映射基本定理在多復(fù)變數(shù)空間中不再成立；單復(fù)變數(shù)中在單葉單連通區(qū)域上只有一個(gè)Cauchy公式，在多復(fù)變數(shù)中互不等價(jià)的區(qū)域上卻有不同的積分表示；在單變數(shù)中Borel—Pompeiu(或Cauchy—Green)公式由于它的核是全純的，所以可以直接用來解()—方程，但在多復(fù)變數(shù)中相應(yīng)于Borel—Pompeiu(或

2、Cauchy—Green)公式的Bochner—Martinelli公式由于它的核不是全純的，所以不能用它來直接解()—方程，可以說多復(fù)變函數(shù)論是在不斷的尋找新方法和解決問題中發(fā)展起來的．對Cn中強(qiáng)擬凸域的()—問題的解的積分表示是在上世紀(jì)六七十年代由G．M．Henkin，H．Grauet和I．Lieb通過構(gòu)造新的單位分解和構(gòu)造新的積分核得到解決的．2002年R．Rocha—Chávez，R．Shapiro和F．Sommen從另一個(gè)角度

3、研究了Cn空間中()—方程的解的積分表示問題．他們通過構(gòu)造一個(gè)2×2的矩陣值(D)算子和2×2的矩陣值積分核得到一個(gè)Borel—Pompeiu公式，直接求解了2×2矩陣值微分形式的(D)—方程．本文則對Kaehler流形上的(D)—方程進(jìn)行了討論，得到了Kaehler流形上2×2矩陣值微分形式的(D)—方程解的積分表示，并在 Clifford空間中討論了這個(gè)問題． 首先我們在第一章陳述了復(fù)流形和Kaehler流形的基本定義和相關(guān)

4、內(nèi)容，以及Kaehler流形上的Hodge—Laplace算子和協(xié)變導(dǎo)數(shù)．其次討論了復(fù)流形上的不變積分核，指出了在Kaehler流形上若C(T1，0(M×M))=D2=0，則這個(gè)不變積分核Ω((η)，η)就是Hodge—Laplace方程△=2□=2(□)=0的基本解． 在第二章我們設(shè)計(jì)了Kaehler流形上的一個(gè)2×2矩陣值的微分形式，然后利用Kaehler流形上Hodge—Laplace算子的性質(zhì)又設(shè)計(jì)了一個(gè)Cauchy—R

5、iemann算子(D)和2×2矩陣值的不變積分核，其中這個(gè)積分核是(D)零集的．利用這個(gè)不變積分核和Cauchy—Riemann算子導(dǎo)出了關(guān)于矩陣值微分形式的Borel—Pompeiu公式，然后利用關(guān)于矩陣值微分形式的Borel—Pompeiu公式直接解決了Kaehler流形上超全純(D)—問題，即定理2.2和定理2.3． 第三章，利用三個(gè)關(guān)系式(3.2)，(3.3)，(3.4)定義了一個(gè)復(fù)的Clifford代數(shù)Wn和Witt基