Clifford分析中全純Cliffordian函數(shù)的性質(zhì)及其邊值問題.pdf

1、W.K.Clifford將高維空間中的幾何結(jié)構(gòu)和代數(shù)理論結(jié)合起來，創(chuàng)立了一種幾何代數(shù)―Clifford代數(shù).Clifford代數(shù)是一個可結(jié)合但不可交換的代數(shù)結(jié)構(gòu).Clifford分析就是在Clifford代數(shù)上進行的經(jīng)典函數(shù)理論分析.它是對實分析、復(fù)分析、四元數(shù)分析等向高維空間的推廣.作為一個活躍的數(shù)學(xué)分支，它在數(shù)學(xué)以及其它學(xué)科的各個領(lǐng)域都具有重要的理論和應(yīng)用價值.例如: 在偏微分方程、奇異積分方程和廣義函數(shù)理論中，研究Cauchy型積

2、分是解決各類邊值問題的重要基礎(chǔ).另外，它還被廣泛地應(yīng)用于彈性力學(xué)、流體力學(xué)、機器人學(xué)、計算生物學(xué)、化學(xué)、計算機科學(xué)等不同現(xiàn)代科技領(lǐng)域.N維歐式空間中Dirac算子D=∑n I=1 ei (e)/(e) xi的引入及其零解正則函數(shù)的出現(xiàn)是推進Clifford分析發(fā)展的重要里程碑.
　　 對照單復(fù)分析中全純函數(shù)的經(jīng)典內(nèi)容，國內(nèi)外許多學(xué)者進行了大量研究，如: 正則函數(shù)的Cauchy積分公式、正則函數(shù)的邊值特性、正則函數(shù)的級數(shù)展開式、M

3、orera定理、Riemann邊值問題等.而后，H.Leutwiler等對Dirac算子的修正促進了Clifford空間中不同函數(shù)類的推廣.從而，相繼出現(xiàn)的超正則函數(shù)、超調(diào)和函數(shù)、k正則函數(shù)、k超正則函數(shù)等新的函數(shù)類大大豐富了Clifford分析的研究內(nèi)容.
　　 在Clifford分析中，偏微分方程D△mf(x)=0 (或: f(x)D△m=0)的解，稱為全純Cliffordian函數(shù)，是對正則函數(shù)的一種新型推廣.正則函數(shù)一定

4、是全純Cliffordian函數(shù)，反之未必成立.如: xn為全純Cliffordian函數(shù)和超正則函數(shù)，但不是正則函數(shù).但是我們從其定義容易看到，將Laplace算子至多m次作用到全純Cliffordian函數(shù)后就能轉(zhuǎn)化為正則函數(shù).因此，作為一種更為廣泛的函數(shù)空間，它進一步拓寬了人們在Clifford代數(shù)上實復(fù)Clifford分析的研究視野和發(fā)展方向.
　　 本文共分四部分:
　　 第一章給出了相關(guān)預(yù)備知識、一些主要引理

5、和一個球坐標(biāo)變換，并且證得了兩個不等式估計，為后面的一些積分估計提供了基礎(chǔ).首先我們介紹了實Clifford代數(shù)R0;2m+1上的偏微分方程D△mf(x)=0，它的解即為全純Clifffordian函數(shù)，以及全純Cliffordian函數(shù)的積分表示式的核函數(shù)及其性質(zhì).然后給出了全純Cliffordian函數(shù)在有界域上的積分表示式和Plemelj公式，為本文研究這類函數(shù)在無界域上的性質(zhì)奠定了基礎(chǔ).
　　 第二章給出了全純Cliff

6、ordian函數(shù)的一些簡單性質(zhì).首先我們指出全純Cliffordian函數(shù)空間構(gòu)成一右R0;2m+1模，但非左R0;2m+1模.其次我們借用黃沙老師第一類擬置換的手法從正則函數(shù)的角度給出了全純Cliffordian函數(shù)的兩個等價條件，從而不僅簡化了我們對于全純Cliffordian函數(shù)的判別，同時也建立了正則函數(shù)與全純Cliffordian函數(shù)之間的聯(lián)系.
　　 最后討論了定義于R2m+2中有界域Ω取值于Clifford代數(shù)R0

7、;2m+1的2m+1次連續(xù)可微函數(shù)的開拓定理.這里應(yīng)用有界域上的Cauchy積分公式和Plemelj公式以及一些技巧經(jīng)過計算可以證得定理.
　　 第三章，我們分別介紹了定義于R2m+2中的無界域U取值于Clifford代數(shù)R0;2m+1的2m+1次連續(xù)可微函數(shù)的Cauchy型積分及其Cauchy主值與Plemelj公式，這兩部分和經(jīng)典全純函數(shù)理論類似，堪稱全純函數(shù)理論的基石.它們是討論開拓定理和邊值問題的重要基礎(chǔ).首先我們定義了

8、全純Cliffordian函數(shù)的Cauchy型積分及其Cauchy主值，并證明了當(dāng)這個Cauchy型積分定義在區(qū)域邊界上時在Cauchy主值意義下收斂.這里我們將無界積分區(qū)域U的邊界(e)U分成有界和無界兩部分來分別討論，在處理無界部分時，我們對這個積分的Cauchy核函數(shù)部分與密度函數(shù)部分進行了巧妙估值和增設(shè)條件，并類似無界域上處理正則函數(shù)的方法證得了在Cauchy主值意義下的積分收斂.對于有界部分，我們是將積分分成正常積分和弱奇性積

9、分兩項來處理，從而只需證明弱奇性項的收斂性，而這一結(jié)論我們借助于有界域上證明正則，k正則等函數(shù)類的常見手法容易證明.在Plemelj公式的證明過程中，我們主要證明全純Cliffordian函數(shù)的Cauchy型積分中那些具有弱奇性項的連續(xù)性.主要是借助第一章一些重要的積分估值和本章前面的思想得以解決的.
　　 第四章討論了定義于R2m+2中有界域Ω取值于Clifford代數(shù)R0;2m+1的2m+1次連續(xù)可微函數(shù)的一類邊值問題，包括