一類Hartogs域上的完備標準正交系與Bergman核函數(shù).pdf

1、設(shè)Q是C<'n>中的有界域，令．H<'2>(Ω)表示Ω上全純且平方可積的函數(shù)空間，即H<'2>(Ω)=Hol(Ω)n L<'2>(Ω)．在H<'2>(Ω)上引入內(nèi)積: = ，易知H<'2>(Ω)是Hilbert空間．由于H<'2>(Ω)是非空的可分的內(nèi)積空間。因此它上面存在可數(shù)的完備標準正交基．設(shè){ψk(z)}，k=0，1，…是它的一組完備標準正交基，則Q上的Bergman核函數(shù)定義為:而且，Ω上的Bergman核

2、函數(shù)是唯一的，它不依賴于Ω的完備標準正交基的選擇．另外，我們也可以根據(jù)Bergman核函數(shù)的再生性來定義Ω上的Bergman核函數(shù)． 從定義中可以看出，如果—個域的完備標準正交系已知，那么由上式可以求出它的Bergman核函數(shù)的無窮級數(shù)形式，對于一些特殊的有界域，還可以通過一些運算上的技巧得到它的Bergman核函數(shù)的有限形式．因此找到有界域的完備標準正交系對于我們顯式求出Bergman核函數(shù)有著重要的作用．對于C<'n>中的有

3、界域來說，我們已經(jīng)知道了圓型域，Reinhardt域，semi-Reinhardt的完備標準正交系的一般形式．本文第一部分我們將給出分組圓型域的定義及完備標準正交系的一般形式． 文章的主要結(jié)果是：引進分組圓型域的概念，給出分組圓型域的標準完備正交函數(shù)系的一般形式；作為它的應(yīng)用，我們計算出域日D的Bergman核函數(shù)的顯表達式．域日D定義如下：HD(1；m<,1>，n<,i>，m<,2>，n<,2>；p；q<,1>，q<,2>)=

4、{ξ∈∈C，Z ∈R<,I>(m<,1>，n<,1>)，W ∈R<,I>(m<,2>，n<,2>)：|ξ|<'2p><ψ(Z，W)}，這里ψ(Z，W)=det(I-ZZ<'t>)<'q1>det(J-WW<'t>)<'g2>，p>0，q1>0，q2>0，R<,I>，表示華羅庚意義下的第一類典型域，Z表示Z的共軛， Z<'t>表示Z的轉(zhuǎn)置，det表示行列式；在此基礎(chǔ)上，我們將得到的結(jié)論進行推廣：若ξ=(ξ<,1>…，ξ<,r>)∈C<'r