種群模型的有效數(shù)值方法研究.pdf

1、生態(tài)學(xué)是主要研究物種及其與環(huán)境之間相互關(guān)系的學(xué)科.近年來，有越來越多的人研究種群生態(tài)學(xué)領(lǐng)域的數(shù)學(xué)模型.這反映了數(shù)學(xué)模型在理解動(dòng)態(tài)過程以及實(shí)際預(yù)測中的重要作用.單種群模型雖然一般與實(shí)驗(yàn)室研究有關(guān)，但是他們能反映現(xiàn)實(shí)中影響種群動(dòng)態(tài)的各種因素.多種群模型已經(jīng)被廣泛應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域，如捕食和競爭作用、可再生資源管理、抗農(nóng)藥菌株的演化、害蟲的生態(tài)控制、多物種群落和植物-食植者系統(tǒng)等. 年齡結(jié)構(gòu)種群模型已經(jīng)被很多人研究過.最早的無擴(kuò)散年齡結(jié)構(gòu)

2、模型是McKendrick-vonFoerster的線性模型[32.56]和Gurtin-MacCamy的非線性模型[34].關(guān)于這類無擴(kuò)散問題的研究，參見[18.29.30.44.50]及其參考文獻(xiàn).另一方面，研究空間擴(kuò)散對(duì)年齡結(jié)構(gòu)種群模型的影響非常重要.Gurtin[33]和Rotemberg[66]首先將空間擴(kuò)散引進(jìn)年齡結(jié)構(gòu)模型.很多作者[2.3.23.35.46.49.51.52.55.58]研究了其擴(kuò)展問題. 在第一章

3、中，我們研究了無空間擴(kuò)散的年齡結(jié)構(gòu)種群模型.這個(gè)模型研究的是一類海洋無脊椎動(dòng)物的增長.這類無脊椎動(dòng)物的生長包括固著的成蟲期和浮游的幼蟲期，例如藤壺.成蟲同著在有限的區(qū)域，生產(chǎn)幼蟲.而幼蟲可以自由地從一個(gè)區(qū)域漂游到另一個(gè)區(qū)域.我們在第二章研究了帶非線性擴(kuò)散的年齡結(jié)構(gòu)種群模型.它可以描述生活在固定的空間區(qū)域的某個(gè)種群的密度變化，例如魚類[23.36]. 在很多種群模型中，出生率被認(rèn)為足即刻生效的.然而，在現(xiàn)實(shí)中，考慮到達(dá)到成熟需要一

4、段時(shí)間，可能存在時(shí)滯.有很多新模型考慮了時(shí)滯的影響.Smith在[70]，Smith和Thieme在[71]中對(duì)有未成熟和成熟年齡階段的種群提出了時(shí)滯微分方程.So.Wu和Zou在[74]中用Smith的方法，對(duì)成熟種群得到了時(shí)滯微分方程組.另外，在[75]中他們得到了一維連續(xù)無界空間區(qū)域中帶時(shí)滯的非局部反應(yīng)擴(kuò)散方程.D.Liang和J.H.Wu在[54]考慮了生活在一維空間傳播區(qū)域的物種，得到了帶時(shí)滯和非局部效應(yīng)的反應(yīng)對(duì)流擴(kuò)散模型.文

5、獻(xiàn)[55]的作者考慮了二維有界區(qū)域，提出了不同邊界條件下帶時(shí)滯和非局部反應(yīng)的反應(yīng)擴(kuò)散方程.本文作者在第三章考慮了帶局部時(shí)滯的種群模型.這個(gè)模型和著名的Nicholson’sblowflies模型類似.有很多文章研究過Nicholson’sblowflies模型，對(duì)有限區(qū)域情況，參見[57]、[72]、[73]和[78]. 隨著生存歷史和棲息地特點(diǎn)等生態(tài)信息的不斷完善，模型逐漸變得貼近現(xiàn)實(shí)，而對(duì)模型的數(shù)值方法研究也變得更加重要.對(duì)

6、上面提到的幾種種群模型，本文作者已經(jīng)在發(fā)展其數(shù)值解法方面做了一些工作. 全文共分三章. 在第一章，我們研究了海洋無脊椎動(dòng)物的年齡結(jié)構(gòu)模型的間斷Galerkin方法.Roughgarden等人在[67]中首次對(duì)生活在局部地區(qū)的海洋無脊椎動(dòng)物提出了年齡結(jié)構(gòu)種群模型.由于生殖周期不是閉的，這個(gè)模型可以看作是開放式系統(tǒng)模型.[8，39，48，62，79]等文獻(xiàn)擴(kuò)展了該模型.另外，Roughgarden和Iwasa在[40，68]

7、中提出了封閉的年齡結(jié)構(gòu)模型并將它擴(kuò)展到多物種和多棲息地模型. 考慮有限壽命的種群模型，在極限年齡附近，死亡率函數(shù)可能是無界的，解可能是陡峭的或非正則的.因此，在數(shù)值計(jì)算中，用非等距網(wǎng)格和在不同的時(shí)間層加密網(wǎng)格是很重要的.為實(shí)現(xiàn)這個(gè)目的，間斷Galerkin方法可以被用來有效地逼近種群模型的解.間斷Galerkin方法被Reed和Hill[65]首先引進(jìn)和應(yīng)用在中子遷移方程.接著，這個(gè)方法被廣泛研究，參見[1，7，9，22，26，

8、41].間斷Galerkin方法不僅擁有有限元方法的一些優(yōu)點(diǎn)，還吸收了有限差分的一些特點(diǎn).這個(gè)方法很適合解有局部特性的問題.它易于局部網(wǎng)格加密和自適應(yīng)計(jì)算.另外，由于其在單元之間有簡單的通信方式，還易于實(shí)現(xiàn)并行計(jì)算.進(jìn)一步地，在跨越單元邊界的時(shí)候沒有連續(xù)性要求，從而每個(gè)單元上可以選擇正交的基函數(shù)，高階有限元逼近時(shí)可以形成良態(tài)代數(shù)系統(tǒng)[1.21]. Kim在[47]研究了線性種群模型的間斷Galerkin方法，分析了半離散格式的誤

9、差估計(jì)，但是沒有考慮全離散格式和非線性問題.我們在這章考慮了較復(fù)雜的非線性年齡結(jié)構(gòu)種群模型.在§1.2.我們給出一些記號(hào)并提出半離散和全離散格式.接著，在§1.3，得到了半離散問題誤差估計(jì)，用Schauder固定點(diǎn)定理證明了半離散問題解的存在性.在§1.4.1，我們分析了全離散格式的誤差估計(jì).最后，在§1.4.2，給出數(shù)值算例驗(yàn)證我們的方法的有效性.由于我們提出的間斷Galerkin方法是求解非線性耦合系統(tǒng)，因此理論分析比較復(fù)雜.本章結(jié)

10、果對(duì)研究種群增長的非線性系統(tǒng)有重要的理論和應(yīng)用價(jià)值. 在第二章，我們研究帶非線性擴(kuò)散和反應(yīng)的年齡結(jié)構(gòu)種群模型.很多文章只得到了時(shí)間和年齡方向的一階格式.為了提高計(jì)算效率和精度，有必要構(gòu)造高階格式.在這一章，用沿時(shí)間-年齡特征線的特征差分法([42.46.58])和空間變量的有限元法，我們對(duì)這個(gè)非線性問題提出了兩個(gè)二階格式，一個(gè)是隱格式，另一個(gè)是顯格式.我們用變分方法，Schauder固定點(diǎn)定理和先驗(yàn)估計(jì)技巧分析了這兩個(gè)格式.在§

11、2.2，我們分別提出了二階隱格式和顯格式.接著，我們在§2.3得到隱格式的誤差估計(jì)，在§2.4證明了隱格式的解的全局存在性.在§2.5，我們得到了顯格式的誤差估計(jì).這兩個(gè)格式在時(shí)間和年齡方向都是二階的.相對(duì)于一階格式，在相同精度的情況下，我們的格式可以用較大的時(shí)間步長和較少的網(wǎng)格點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算.在第二章的結(jié)尾，我們給出數(shù)值算例來驗(yàn)證我們的理論結(jié)果.算例中的模型有實(shí)際意義，它可以描述單個(gè)物種比如魚類的動(dòng)態(tài)[23，36].數(shù)值結(jié)果和[23]中的

12、方法進(jìn)行了比較.從數(shù)值結(jié)果可以看出，我們的格式在時(shí)間和年齡方向都是二階的. 在第三章考慮帶時(shí)滯的種群模型的自適應(yīng)有限元方法.自適應(yīng)有限元由于其高效性已經(jīng)成為科學(xué)和工程計(jì)算領(lǐng)域一個(gè)重要課題，并吸引了眾多的研究者.早期的工作，參見Babuska等人的工作([4],[5]，[6]，[10],[11]和[12]).近期的工作，參見[14],[15]，[16]，[24]，[25]，[26]，[27]，[60]及其參考文獻(xiàn).在這些文獻(xiàn)中，有

13、很多研究了線性和非線性拋物問題.特別地，[10],[11]，[16]，[25]和[64]得到了線性拋物問題的后驗(yàn)誤差估計(jì).[14]，[17]，[59]，[63]和[77]則分析了非線性拋物問題的后驗(yàn)誤差估計(jì).眾所周知，時(shí)間相關(guān)問題的解的光滑性經(jīng)常隨時(shí)間變化相當(dāng)大，因此用自適應(yīng)方法求解這類問題是很有必要的.用[16]的思想，我們研究了帶時(shí)滯的種群模型的自適應(yīng)有限元方法.在§3.1，我們給出了全離散格式和輔助問題.在§3.2，我們分別得到了