Banach空間中極大單調(diào)算子的近似鄰近點(diǎn)算法.pdf

1、本文我們考慮Banach空間中極大單調(diào)算子零點(diǎn)的近似鄰近點(diǎn)算法.設(shè)B為自反Banach空間,T:B→P(B+)為極大單調(diào)算子,為了求解問(wèn)題(1):0∈T(x),最先使用的是鄰近點(diǎn)算法(PPA),由于其局限性,又出現(xiàn)了幾類(lèi)近似鄰近點(diǎn)算法:1近似鄰近點(diǎn)算法(APPA)(Rockafellar于1976年提出).2投影近似鄰近點(diǎn)算法(PAPPA).3使用Bregman函數(shù)的近似鄰近點(diǎn)算法.在Hilbert空間中一般只需采用前兩類(lèi)算法,第三類(lèi)算

2、法則是近年來(lái)用于自反Banach空間的,現(xiàn)有的這類(lèi)算法基本框架如下:1.x0∈B為初始值,2.給定第k步近似解xk,求(x|^k,ek)∈B×B滿(mǎn)足:λk(f1(xk)-f1(x|^k)]-ek∈T(x|^k),和某個(gè)包含x|^k,ek,λk,xk的不等式約束.3.若x|^k=xk,則停止;否則,令:xk+1=g(x|^k),迭代.其中:Df(x,y)=f(x)-f(y)-(f’(y),x-y),f為B上真凸下半連續(xù)泛函,f’為f的G-

3、導(dǎo)數(shù);g是關(guān)于x|^k的一個(gè)函數(shù);λk滿(mǎn)足某取值范圍.與現(xiàn)有的使用Bregman函數(shù)的近似鄰近點(diǎn)算法不同,本文第三章給出的算法Ⅰ使用誤差項(xiàng)是sk(以Ts1近似T),而不是ek,并令xk+1=x|^k.為了得到算法Ⅰ的收斂分析,在第2章我們列出了預(yù)備知識(shí);第三章的主要結(jié)論概括于定理3.2中:定理3.2(收斂性)設(shè)f∈F,滿(mǎn)足H1、H2、H3和H4,dom(f)=B;設(shè){xk}為算法Ⅰ產(chǎn)生的序列,若原問(wèn)題(1)有解,則:1){xk}有弱聚點(diǎn)

4、,且所有弱聚點(diǎn)為(1)的解.2)若f還滿(mǎn)足H5,則整個(gè)序列{xk}弱收斂到(1)的一個(gè)解.由定理3.2可知我們給出的算法具有與傳統(tǒng)的使用Bregman函數(shù)的近似鄰近點(diǎn)算法有相同的收斂性質(zhì).＜WP=3＞第4章討論的則是一個(gè)正交投影近似鄰近點(diǎn)算法(空間中):算法Ⅱ.這一章的內(nèi)容對(duì)何炳生[11]的算法進(jìn)行了推廣:我們用以下誤差準(zhǔn)則:≤+,、≥0,=＜1,=＜1,＜+.代替了[11]中的準(zhǔn)則:≤,=＜1.并同樣采用了正交投影步驟.我們證明了下述

5、收斂定理.定理4.4設(shè){}、{}、{}為算法Ⅱ產(chǎn)生的序列,則:1.存在{}的一個(gè)弱聚點(diǎn)∈,2.當(dāng)=時(shí),∈.我們利用算法Ⅱ解單調(diào)變分不等式問(wèn)題,說(shuō)明了算法Ⅱ包含文[15]中的算法.第5章中,提出了嚴(yán)格單調(diào)(嚴(yán)格單調(diào))概念.定理5.2給出了算法Ⅰ產(chǎn)生的序列{}強(qiáng)收斂的一個(gè)充要條件:定理5.2設(shè){}為算法Ⅰ產(chǎn)生的序列,滿(mǎn)足-,則:受命題5.4,5.5的啟發(fā),我們建立下面兩個(gè)不等式:(31)(,)+(,)≤(,),(＞0)(32)(,)+(,)