多線性算子及其交換子的加權不等式.pdf

1、Calderón和Zygmund在上世紀五十年代創(chuàng)立了奇異積分算子理論,發(fā)展了Rn上Fourier分析的實方法。.此基礎上,經過近幾十年的研究,調和分析理論不斷發(fā)展,先后建立了加權理論、多線性理論、齊型空間與非齊型空間上的調和分析等理論,并被廣泛應用于偏微分方程、多復變函數、位勢理論、算子理論、非線性分析等數學領域中。Hardy-Littlewood極大算子M、奇異積分算子T及分數次積分算子Iα及其交換子是調和分析中最重要的幾類算子,主

2、要探討它們在Lebesgue空間Lp(Rn),Lp,∞(Rn),Hardy空間Hp(Rn)以及其它函數空間上的有界性問題。Muckenhoupt在1972年研究了Hardy-Littlewood極大算子M在加權空間Lp(ω)(>1)上有界時權函數ω的特征為權函數ω滿足Ap條件,Hunt,Muckenhoupt與Wheeden,Muckenhoupt與Wheeden,Coifman與Fefferman分別給出了Hilbert變換、分數次極

3、大函數、分數次積分及奇異積分算子的加權模不等式,1982年Sawyer研究了Hardy-Littlewood極大算子M的雙權不等式.研究各種算子的加權不等式逐漸形成了系統(tǒng)的理論,成為調和分析理論中的重要組成部分。多線性Calderón-Zygmund算子是在上世紀七十年代Coifman和Meyer開始研究的.由于多線性奇異積分算子在偏微分方程研究中的廣泛應用,多線性理論近年來成為調和分析研究的熱點.2002年Grafakos和Torre

4、s對多線性Calderón-zygmund算子做了系統(tǒng)的研究,2009年,Lemer、Ombrosi、Pérez,Torres和Trujillo-Gonzáldez給出了多線性Hardy-Littlewood極大算予以及與多線性Calderón-Zygmund算子相應的多重權Ap的定義,建立了多線性算子的加權理論,解決了Grafakos和Tortes提出的關于多線性算子加權的公開問題,極大地推動了多線性算子加權理論的研究。此后,Moen

5、、Chen與Xue、Pradolini等人對多線性分數次極大算子與多線性分數次積分算子及其交換子得到了各種形式的加權不等式,Bernardis、Hartzstein與Pradolini.研究了多線性位勢型算子及其交換子的加權不等式。調和分析多線性算子的加權理論目前已取得許多成果,與線性算子的加權理論相比還不完善,還有很多問題需要研究。本文探討了四方面的問題：一是多線性極大算子和多線性分數次極大算子的雙權不等式;二是多線性分數次積分算子與

6、BMO函數構成的交換子的加權有界性;三是多線性分數次積分算子與BMO函數構成的迭代型交換子的加權有界性;四是極大多線性Calderón-Zygmund奇異積分算子的加權有界性。
　　本研究分為六個部分：第一章中,我們概述了調和分析多線性算子理論的發(fā)展歷史與研究現狀,給出了本文用到的一些預備知識,如記號、基本概念和重要的引理、定理等。第二章中,我們給出了多線性極大算子和多線性分數次極大算子的雙權強型和弱型不等式的Sawyer型充分條

7、件.這些結果推廣了Sawyer定理和其它一些著名結果。第三章中,我們給出了多線性分數次積分算子與BMO函數構成的交換子的LlogL型加權端點估計,推廣了Cruz-Uribe與Fiorcnza關于分數次積分算子交換子的相關結果。此外還給出了此交換子的加權強型不等式,改進了Chen與Xue的結果。第四章中,對多線性分數次積分算子與BMO函數構成的迭代型交換予,我們研究了雙權強型有界性,給出了此迭代型交換子的Feffcrman-Phong型不