時(shí)-空分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的快速算法以及MT-TSCR-FDE的快速數(shù)值解法.pdf

1、如今分?jǐn)?shù)階微積分已成為流行在社會(huì)科學(xué)與工程的重要工具。特別是時(shí)空分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程正越來越多地應(yīng)用于研究許多領(lǐng)域的反常擴(kuò)散現(xiàn)象。由于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的非局部性，其數(shù)值求解會(huì)生成滿系數(shù)矩陣，并且此矩陣的求解需要消耗大量的計(jì)算成本及存儲(chǔ)量。所以我們展開研究快速數(shù)值方法來解決這一問題。
　　本研究第一步給出時(shí)-空分?jǐn)?shù)階雙邊擴(kuò)散方程的一般形式:(e)βu(x,t)/(e)tβ=d+(x,t)(e)αu(x,t)/(e)+xα+d-（x，t)(e)α

2、u(x,t)/(e)_xα+f（x，t)，0≤t≤T，xL≤x≤xR，u(x,0)=u0(x),xL≤x≤xR,u(xL,t)=0,u(xR，t)=0,0≤t≤T。對(duì)于時(shí)間分?jǐn)?shù)階，我們采用Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù);對(duì)于空間分?jǐn)?shù)階，采用左和右的Riemann-Liouville空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，并利用修正的Grunwald-Letnikov近似。給出相應(yīng)的有限差分格式及矩陣格式。第二步有限差分格式的滿系數(shù)矩陣，它可以分解成Toeplitz矩陣

3、與向量乘積之和。根據(jù)Toeplitz矩陣與循環(huán)矩陣的關(guān)系，以及循環(huán)矩陣的性質(zhì)，提出用傅里葉變換法求解矩陣向量的乘積，開發(fā)一個(gè)基于快速傅里葉變換(FFT)的快速解決方案。第三步基于FFT的快速解決方案，我們開發(fā)了兩種快速數(shù)值方法:一種是O(N log N)的最小剩余共軛梯度平方快速迭代方法，一種是O(N log2 N)的快速有限差分法。與常規(guī)有限差分法相比能夠極大地減少計(jì)算成本和存儲(chǔ)空間，同時(shí)保持相同的精度。第四步對(duì)于多項(xiàng)分?jǐn)?shù)階時(shí)-空Ca

4、puto-Riesz方程(MT-TSCR-FDE)，P(Dt)u(x，t)=p(x)Rβx+q(x)Rγx-h(x)u（x，t)+F(x，t)。首先利用預(yù)估-校正法對(duì)此多項(xiàng)分?jǐn)?shù)階方程進(jìn)行數(shù)值逼近，然后應(yīng)用上面提出的方法和步驟，分析研究數(shù)值求解的快速方法，以極大地減少計(jì)算成本和存儲(chǔ)空間。第五步：數(shù)值實(shí)驗(yàn)。分別針對(duì)時(shí)-空Caputo-Riesz分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程，一個(gè)有解析解的時(shí)-空分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程，以及最后的MT-TSCR-FDE給出實(shí)例數(shù)值模