Teichmuller空間的度量性質(zhì).pdf

1、Teichmüller理論源于：Teichmüller對Riemann曲面模問題的研究，該理論本身具有豐富而有趣的研究價值，且與其他的數(shù)學(xué)分支有著廣泛深入的聯(lián)系．本文中，我們的研究興趣集中在Teichmüller空間的度量性質(zhì)．Teichmüller空間具有自然的復(fù)流形結(jié)構(gòu)．可以對之賦以多種度量，不同的度量從各個角度對Teichmüller空間的幾何性質(zhì)進行了刻畫．本文主要研究Teichmüller空間的度量性質(zhì)，包括Teichmüll

2、er空間上的Teichmüller度量、Carathéodory度量、長度譜度量(Thurston偽度量)、Weil-Petersson度量，以及曲面上的典范Bergman度量等．此外，我們還研究了經(jīng)典的Beurling-Ahlfors擴張及其一階變分的非調(diào)和性．在第一章中，我們將給出本文的背景介紹并對本文相關(guān)工作給以簡單的引入． 第二章主要考慮Teichmüller度量、長度譜度量以及Thurston偽度量的拓撲等價性．已有的

3、結(jié)果屬于Sorvali、Thurston 、李忠、劉立新、Shiga、Papadopoulos、Papadopoulos-Théret 等．我們在第二章中證明了如下結(jié)果：對拓撲有限或無限型的Riemann 曲面的Teichmüller空間，存在兩個點列，它們之間的Teichmüller距離趨于無窮；同時長度譜距離(Thurston偽距離)趨于零．這改進了李忠的一個相應(yīng)結(jié)果．由這個證明中的構(gòu)造，我們證明了無限維Teichmüller空間上

4、Teichmüller度量與長度譜度量(Thurston偽度量)的非拓撲等價性．該證明比Shiga的原始證明更自然，且給出了一類拓撲無限型的Riemann曲面，使得其Teichmüller空間滿足相應(yīng)的非拓撲等價性(通過構(gòu)造一個特殊的反例，Shiga于2003年證明了Teichmüller度量與長度譜度量的非拓撲等價性．同時，Shiga[55]給出了Teichmüller度量與長度譜度量拓撲等價的一個充分條件)．另外，我們首次給出了這些

5、度量拓撲等價的一個必要條件．最近，Kinjo證明了Shiga的前述充分條件不是必要的． 在第三章中，我們考慮Teichmüller空間的thick part分別關(guān)于Teichmüller度量、Carathéodory度量和Weil-Petersson度量的凸包刻畫．Thick-thin分解被證明是處理相應(yīng)問題的一個有力工具．首先，通過構(gòu)造thick part的一個子集，我們證明了該子集的凸包(分別關(guān)于Teichmüller度量、

6、Carathéodory度量和Weil-Petersson度量)不在任何thick part上面．相應(yīng)地，我們有兩個重要的推論：thick part的凸包(分別關(guān)于Teichmüller度量、Caratheodory度量和Weil-Petersson度量)并非總在thick part上面．Thick part并非總是凸的(分別關(guān)于Teichmüller度量、Carathéodory度量和Weil-Petersson度量)．此外，對于Te

7、ichmüller度量和Carathéodory度量，給出了類似的thin part的刻畫． 第四章研究了曲面上的典范Bergman度量．先回顧曲面上的雙曲度量(即Poincaré度量)，它是依賴于單值化定理的，且具有常負曲率．作為曲面上的一種度量，典范Bergman度量不依賴于單值化定理．雙曲度量誘導(dǎo)了Teichmüller空間上的Weil-Petersson度量；類似地，典范Bergman度量誘導(dǎo)了Teichmüller空間

8、上的L2 Bergman度量：該度量可以投影到?？臻g上，從而我們可以考慮?？臻g在此度量下的幾何性質(zhì)；與Weil-Petersson度量相比較，L2 Bergman度量更適合于極小曲面理論的研究．　　Ahlfors首先證明了雙曲度量面積元的一階變分恒為零．Wolpert對Ahlfors的結(jié)果給出了新的證明．此外，Takhtajan-Teo也考慮了雙曲度量面積元的變分問題，并給出了在萬有Teichmüller空間上的應(yīng)用．利用“雙曲度量面

9、積元的一階變分恒為零”這一結(jié)果，Ahlfors進而證明了Weil—Petersson度量是Kahler度量． 第四章中，我們將考慮典范Bergman度量，我們證明了典范Bergman度量的面積元的一階變分不恒為零，這與Ahlfors的上述結(jié)果形成對照．我們進一步的目的是想知道Teichmüller空間上的L2 Bergman度量是否是Kahler的． 此外，在第五章，我們考慮了Beurling-Ahlfors擴張．擬共形

10、映射理論中的一個經(jīng)典問題是尋找并刻畫具有給定邊界同胚的擴張．對此，我們有Beurling-Ahlfors擴張、Douady-Earle擴張以及調(diào)和擴張．McMullen[68]證明了Douady-Earle擴張的一階變分的調(diào)和性．Liu-Yao證明了Douady-Earle擴張并非總是調(diào)和的．第五章中，我們證明了如下結(jié)果：Beurling-Ahlfors擴張并非總是調(diào)和的．Beurling-Ahlfors擴張的一階變分并非總是調(diào)和的．