分紅及若干相關(guān)隨機(jī)控制問(wèn)題研究.pdf

1、在運(yùn)籌學(xué)研究中，最優(yōu)化問(wèn)題研究已經(jīng)有了比較長(zhǎng)的歷史，他們關(guān)注的主要問(wèn)題是尋求最優(yōu)的策略，使得成本最小化或者利潤(rùn)最大化，容易理解，類(lèi)似的最優(yōu)化問(wèn)題在金融數(shù)學(xué)中也經(jīng)常遇到．因?yàn)?，?jīng)濟(jì)金融問(wèn)題往往也是尋找最優(yōu)控制問(wèn)題．公司管理者（包括精算師等）的職責(zé)就包括不斷地為公司尋找最優(yōu)決策．金融數(shù)學(xué)中，用到最優(yōu)控制理論的早期文獻(xiàn)如：Merton(1969)，Merton(1971)，Karatzas(1997)，Karatzas and Shreve(

2、1997)等．保險(xiǎn)問(wèn)題中的早期文獻(xiàn)如De Finetti(1957)，它提出了離散模型的最優(yōu)分紅控制問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題在Gerber(1969)中得到解決．Shreve，Lehoczky and Gaver(1984)在擴(kuò)散模型下研究了類(lèi)似的問(wèn)題．近年來(lái)，保險(xiǎn)金融中的隨機(jī)控制問(wèn)題已經(jīng)成為國(guó)內(nèi)外學(xué)者們研究焦點(diǎn)之一，并取得了豐碩的科研成果，相關(guān)的參考論文將在本章第2節(jié)中加以介紹．值得一提的是，有兩個(gè)綜述性的參考文獻(xiàn)，Hipp(2004)和Sch

3、midli(2008)，詳細(xì)介紹了金融保險(xiǎn)方面最優(yōu)控制問(wèn)題研究的最新進(jìn)展，供感興趣的讀者參考．
　　 本文用Xлt表示公司在t時(shí)刻的資產(chǎn)，它受到容許策略л的控制．任意給定資產(chǎn)初值χ和容許控制策略л，我們定義一個(gè)與之相關(guān)的運(yùn)行函數(shù)V（χ，л）．我們感興趣的是尋找值函數(shù)V(χ)=maxлV(χ,л)（即最大的運(yùn)行函數(shù)）．這里包含兩個(gè)問(wèn)題，如果值函數(shù)存在的話，如何求解；使得V（χ，π*）=V(χ)的那個(gè)最優(yōu)控制策略π是怎樣的？為了找到

4、值函數(shù)，我們往往假定未知的值函數(shù)具有某些理想的性質(zhì)，從而推導(dǎo)出值函數(shù)滿足的Hamilton-Jacobi-Bellman方程（簡(jiǎn)稱(chēng)HJB方程），有時(shí)候可以通過(guò)解HJB方程找到值函數(shù)可能的解．為了驗(yàn)證這個(gè)可能解確實(shí)足值函數(shù)，還需要借助鞅論中的知識(shí)，用驗(yàn)證性定理加以確認(rèn)．本學(xué)位論文共分為六章．第一章介紹一些隨機(jī)控制的基本理論和相關(guān)問(wèn)題研究現(xiàn)狀．第二章研究經(jīng)典模型下考慮破產(chǎn)赤字影響的最優(yōu)分紅問(wèn)題，第三章研究幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型的最優(yōu)資產(chǎn)控制問(wèn)題，

5、在類(lèi)似的目標(biāo)函數(shù)下，第四第五章研究了對(duì)偶模型下的最優(yōu)資產(chǎn)控制問(wèn)題．第六章用幾何均值回歸模型模擬匯率，為使得運(yùn)行費(fèi)用函數(shù)最小化，我們研究了匯率市場(chǎng)的最優(yōu)干涉策略.
　　 第二章研究經(jīng)典Cramer-Lundberg風(fēng)險(xiǎn)模型下的最優(yōu)分紅問(wèn)題，最優(yōu)分紅問(wèn)題中，傳統(tǒng)的研究對(duì)象是破產(chǎn)前折現(xiàn)分紅期望，僅僅關(guān)注破產(chǎn)前的分紅流，而對(duì)破產(chǎn)后赤字不予考慮，為了彌補(bǔ)這一不足，我們定義一個(gè)新的運(yùn)行函數(shù)，這一新的運(yùn)行函數(shù)除了包含破產(chǎn)前折現(xiàn)分紅期望以外，還

6、考慮了破產(chǎn)時(shí)赤字和破產(chǎn)時(shí)刻對(duì)分紅策略的影響，按照是否有分紅速度限制，我們把最優(yōu)分紅問(wèn)題分成兩種情況來(lái)討論，得到了值函數(shù)所滿足的一些性質(zhì)，結(jié)果證明，為了最大化新的運(yùn)行函數(shù)，barrier策略和threshold策略依然是兩種最優(yōu)的分紅方式．文章在指數(shù)分布的情況下給出了問(wèn)題的顯式解．Schmidli(2008)第2.4節(jié)中的許多結(jié)論得到推廣．
　　 在第三章，我們用何布朗運(yùn)動(dòng)模擬公司資產(chǎn)過(guò)程．假設(shè)公司可以通過(guò)兩種方式來(lái)控制資產(chǎn)，分紅

7、和注資．運(yùn)行函數(shù)定義為整個(gè)公司資產(chǎn)過(guò)程中分紅折現(xiàn)期望與注資折現(xiàn)期望之差．為了最大化這個(gè)運(yùn)行函數(shù)，公司管理者努力尋找最優(yōu)的分紅與注資方式．分別在比例的交易費(fèi)用和固定交易費(fèi)用的情況下，我們找到了最優(yōu)的控制策略．我們給出了一些數(shù)據(jù)的例子，用來(lái)說(shuō)明參數(shù)的影響，并反映了兩種交易費(fèi)用下控制策略的關(guān)系．
　　 在對(duì)偶模型的框架下，我們?cè)诘谒牡谖逭轮欣^續(xù)關(guān)注分紅-注資的最優(yōu)控制問(wèn)題．為了最大化資產(chǎn)過(guò)程中分紅折現(xiàn)期望與注資折現(xiàn)期望之差，我們尋求最

8、優(yōu)的控制策略，在假設(shè)存在比例和固定兩種交易費(fèi)用情況下，控制問(wèn)題得到解決，據(jù)我所知，這是首次在跳模型下研究注資的固定交易費(fèi)用問(wèn)題的文章，固定交易費(fèi)用的出現(xiàn)使得比例交易費(fèi)用下的最優(yōu)停時(shí)間題轉(zhuǎn)化為脈沖控制問(wèn)題，與第四章不同的足，在第五章中我們對(duì)分紅速度加以約束，相應(yīng)的最優(yōu)分紅策略由barrier模式變成了threshold模式，我們得到約束條件下的最優(yōu)控制策略，并與第四章中的結(jié)果加以對(duì)比，文中我們用一些數(shù)值例子來(lái)說(shuō)明值函數(shù)的具體算法，并給出了