二階常微分方程周期邊值問題的多重解.pdf

1、本文中，我們應用Morse理論研究一類二階常微分方程周期邊值問題的多解的存在性。 考慮周期邊值問題{-x=f(t，x)，x(0)-x(2π)=x(0)-x(2π)=0其中f：[0，2π]×R→R是連續(xù)可微函數(shù)，滿足k2≤liminf|x|→∞f(t,x/x)≤limsup|x|→∞f(t,x/x)≤(k+1)2,k∈Z+(1.1)由于線性特征值問題{-x=λx，x(0)-x(2π)=x(0)-x(2π)=0的特征值是m2，m=0

2、，1，2，3…，且m2的特征值重數(shù)是2(m≥1時)所以(1.1)表明問題(P)在無窮遠處在兩個連續(xù)的特征值之間共振。設f(t，0)=0，則問題(P)有一個平凡解。本文討論在此情形下問題(P)的非平凡的2π-周期解的存在性。 引入Sobolev空間H：={x∈L2([0，2π]，R)x∈L2([0，2π]，R)，x(0)=x(2π)，x(0)=x(2π).}H是一個Hilbert空間，它的內(nèi)積和范數(shù)定義為=∫2π0(xy

3、+xy)dt，‖x‖2=x，y∈H定義泛函J(x)=1/2∫2π0|x|2dt-∫2π0F(t，x)dt，x∈H(1.2)其中F(t，x)=∫x0f(t，s)ds。由于f∈C1，故J∈C2(H，R)，且其導數(shù)為：=∫2π0xydt-∫2π0f(t，x)ydt，()x,y∈H=∫2π0yzdt-∫2π0f′(t，x)yzdt，()x,y，z∈H因而求(P)的弱解等價于尋求泛函J在H中的臨界點

4、。按(P0)的特征值將H分解為Ek⊕Ek+1⊕E+⊕E-，其中Ek=ker(-x-k2x)，Ek+1=ker(-x-(k+1)2x)，E-=k-1⊕j=0ker(-x-j2x)，E+=(Ek⊕Ek+1⊕E-)⊥記f1(t，x)=f(t，x)-k2x，f2(t，x)=f(t，x)-(k+1)2x.我們對函數(shù)f(t，x)賦予以下條件 (H1)(1)若v∈Ek，則∫v＞0liminfx→+∞[f1(t,x)v]dt+∫v＜0limsu

5、px→-∞[f1(t,x)v]dt＞0(2)若v∈Ek+1，則∫v＞0liminfx→+∞[-f2(t，x)v]dt+∫v＜0limsupx→-∞[-f2(t，x)v]dt＞0(H2)存在函數(shù)0≤H(t)∈L1([0，2π])使得sgn(x)f1(t，x)≥H(t)，x∈R，t∈[0，2π]，存在函數(shù)0≤K(t)∈L1([0，2π])使得sgn(x)[-f2(t，x)]≥K(t)，x∈R，t∈[0，2π].(H±0)設f'(t，0)=m

6、2，且存在δ＞0使得±(F(t，x)-1/2m2x2)≥0，|x|≤δ，t∈[0，2π].本文的主要結(jié)果是下面的定理 定理1設f滿足(1.1)，(H1)，(H2)，k≥1，假設f'(t，0)＜0，t∈[0，2π].則問題(P)至少有兩個非平凡2π周期解。定理2設f滿足(1.1)，(H1)，(H2)和(H3)m2＜f′(t，0)＜(m+1)2，t∈[0,2π]，m≠k.則問題(P)至少有兩個非平凡2π周期解。定理3設f滿足(1.1