曲線的平行標(biāo)架及其應(yīng)用.pdf

1、曲線是微分幾何研究對(duì)象之一。在這篇文章中，我們主要研究曲線的平行標(biāo)架及其應(yīng)用。通常我們比較熟悉的是曲線的Frenet標(biāo)架，曲線的Frenet標(biāo)架關(guān)于參數(shù)求導(dǎo)得到的系數(shù)矩陣是一個(gè)斜對(duì)稱矩陣。而平行標(biāo)架關(guān)于參數(shù)求導(dǎo)，得到的系數(shù)矩陣也是一個(gè)斜對(duì)稱矩陣，但除了第一行、第一列元素，其他元素均為零。在R<'3>中，我們可以固定Frenet標(biāo)架第一個(gè)坐標(biāo)軸，旋轉(zhuǎn)另外兩個(gè)坐標(biāo)軸。只要旋轉(zhuǎn)的角度β滿足β<'1>=-T，其中T為曲線的撓率，我們就可以得到曲

2、線的平行標(biāo)架。但是用這種方法只適用建立R<'3>中曲線的平行標(biāo)架，用此種方法建立R<'4>中曲線的平行標(biāo)架就會(huì)很復(fù)雜，要想建立R<'n>中曲線的平行標(biāo)架就會(huì)更復(fù)雜。本文介紹了如何用指數(shù)矩陣函數(shù)的方法建立R<,n>中曲線的平行標(biāo)架，用此種方法可以很容易建立任意維數(shù)空間中曲線的平行標(biāo)架。 建立曲線的平行標(biāo)架的一個(gè)應(yīng)用是可以證明Vortex filament方程和非線性Schrodinger方程表示的是同一個(gè)方程。1906年，Leiv

3、i-Civita的學(xué)生da Rios寫了一篇碩士論文，關(guān)于漩渦在粘稠液體里以曲率大小的速度沿著副法線的方向運(yùn)動(dòng)的模型。很久以后，1971年Hasimoto證明了這個(gè)系統(tǒng)和非線性Schrodinger方程是等價(jià)的。在這篇文章中我們用參考文獻(xiàn)中藤楚蓮的思想但是不同的方法，將R<'3>中Vortex filament方程推廣到S<'3>中，并得到S<'3>中非線性Schrodinger方程全文共分三章，主要內(nèi)容安排如下： 第一章：介紹