幾種求解H(curl)與H(grad)型偏微分方程有限元離散系統(tǒng)的多水平快速算法.pdf

1、H(curl)型和H(grad)型偏微分方程組(PDEs)在電磁場計算和固體力學等領域具有廣泛應用.本文針對頻域電磁場PML逼近方程組、頻域電磁場隱身超常材料模型和不定時諧Maxwell方程組等幾類重要的H(curl)型偏微分方程組的棱有限元離散系統(tǒng),以及Possion方程和線彈性力學方程組等幾類重要的H(grad)型偏微分方程的間斷Galerkin(DG)有限元離散系統(tǒng)和二次協(xié)調有限元離散系統(tǒng),研究了相應的多水平快速算法.主要內容如下

2、:
　　針對一類二維電磁場散射問題PML逼近方程的對稱不定線性棱有限元離散系統(tǒng),首次利用迭代兩網格法的思想為其構造了一種迭代兩網格法,該方法本質地將對原復雜離散系統(tǒng)的求解轉化為三個更為簡單的輔助系統(tǒng)的求解.同時為其中的兩個輔助系統(tǒng)分別構造了高效預條件子,以及基于相應預條件子的PMINRES方法和PCG方法.數(shù)值實驗表明,與經典的迭代法(如PMINRES法)相比,我們設計的迭代兩網格法在迭代次數(shù)和CPU時間上均具有明顯的優(yōu)勢.

3、>　　通過將完美匹配層(PML)方法、電磁場理論以及隱身超常材料理論等相結合,給出了一種二維頻域電磁場隱身超常材料模型,數(shù)值實驗檢驗了模型的正確性.進一步,為一類電磁場散射問題PML逼近方程組和上述隱身超常材料模型方程組的線性棱有限元離散系統(tǒng),結合HX預條件方法,構造了一種Schur補型的多水平預條件子,數(shù)值實驗驗證了算法的有效性.
　　針對不定時諧Maxwell方程組的棱有限元離散系統(tǒng),構造了一種基于兩水平方法和HX預條件子的多

4、水平加性預條件子,本質性地將細網格空間上原不定問題的求解轉化為粗網格空間和細網格上curl算子核空間上原不定問題的求解,以及在細網格空間上的對稱正定問題的求解.當粗網格尺寸充分小時,證明了基于該預條件子的PGMRES法的一致收斂性.數(shù)值實驗驗證了理論結果的正確性.
　　針對一類二階橢圓問題的一般對稱內罰間斷有限元離散系統(tǒng),通過將DG有限元空間分解為“高頻”部分和線性協(xié)調元空間,為其構造一種新的穩(wěn)定的空間分解.利用該空間分解,首先為

5、DG有限元離散系統(tǒng)設計了多水平預條件子.基于輔助空間預條件理論,我們證明了該預條件系統(tǒng)的條件數(shù)是一致有界的,同時為其中的線性元系統(tǒng)設計了BPX預條件子,從而得到一種多水平加性預條件子.接著還為DG有限元離散系統(tǒng)設計了一種兩水平迭代法,并證明該迭代法是一致收斂的.數(shù)值實驗驗證了上述理論的正確性.
　　針對平面彈性力學問題二次有限元離散系統(tǒng),給出了一種基于二分網格的局部多層網格(LMG)法.通過將二次有限元空間分解成‘高頻’部分和線性