積分變換在Busemann-Petty型問(wèn)題中的應(yīng)用研究.pdf

1、本文致力于研究積分變換在凸幾何極值問(wèn)題，尤其是在Busemann-Petty型問(wèn)題中的應(yīng)用。這一研究方向近十年來(lái)在國(guó)際上空前繁榮并解決了一系列凸幾何學(xué)中的經(jīng)典難題，最著名的當(dāng)屬Busemann-Petty問(wèn)題及其形形色色的推廣的研究。而低維廣義Busemann-Petty問(wèn)題的懸而未決正使得該方向的研究進(jìn)一步走向深入，也使得越來(lái)越多的數(shù)學(xué)家加入到了這一方向的研究之中。 著眼于Radon變換和分布的Fourier變換在解決Buse

2、mann-Petty型問(wèn)題時(shí)所體現(xiàn)出的強(qiáng)大力量，本文利用這兩種變換繼續(xù)研究一些未決的Busemann-Petty型問(wèn)題，并探討B(tài)usemann-Petty型問(wèn)題與積分變換之間的本質(zhì)聯(lián)系。研究的內(nèi)容涉及著名的廣義Busemann-Petty問(wèn)題，Koldobsky提出的廣為人知的Busemann-Petty問(wèn)題的分析推廣，F(xiàn)unk截面定理，體積單位化L<,p>-極投影體算子Γ<,-p>的單調(diào)性問(wèn)題，以及L<,p>-Winterniz單調(diào)性

3、問(wèn)題等。 利用i一維球面Radon變換的性質(zhì)，第二章給出了Funk截面定理的一個(gè)實(shí)質(zhì)性推廣，這一結(jié)果與Chakerian和Lutwak對(duì)Aleksandrov投影定理的一個(gè)推廣精確對(duì)偶，但在方法上卻與Chakerian和Lutwak的完全“非對(duì)偶”。這個(gè)結(jié)果還進(jìn)一步驗(yàn)證了凸體/星體，投影/截面，投影體/截面體，混合體積/對(duì)偶混合體積之間的神奇的對(duì)偶性。 在第三章中，通過(guò)改進(jìn)i-維球面Radon變換的應(yīng)用技巧，我們從兩個(gè)不

4、同的新角度研究了廣義Busemann-Petty問(wèn)題及其解答。第一個(gè)角度全面推廣了廣義Busemann-Petty問(wèn)題本身的提法，并使得廣義Busemann-Petty問(wèn)題及其解的充要條件可由我們的結(jié)果的特殊情形給出．而從第二個(gè)角度出發(fā)我們推廣了Zhang關(guān)于廣義Busemann-Petty問(wèn)題的一個(gè)特定正解，并得到了i-維體積大小關(guān)系的兩個(gè)等價(jià)命題，進(jìn)而給出了廣義Busemann-Petty問(wèn)題的一個(gè)等價(jià)表述．這一等價(jià)表述將使得利用線

5、性變換來(lái)研究廣義Busemann-Petty問(wèn)題變得十分方便。 與L<,p>-質(zhì)心體的單調(diào)性問(wèn)題類(lèi)似，星體 K 的體積單位化L<,p>-極投影體Γ<,-p>K的單調(diào)性問(wèn)題可表述為：對(duì)p>0和R<'n>中原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)凸體K和L，Γ<,-p>K Γ<,-p>L是否一定蘊(yùn)涵K的體積小于等于L的？第四章采用Fourier分析的方法建立了這一問(wèn)題在p≥1時(shí)的一般解．我們證明了當(dāng)p=1時(shí)其解為正的充要條件是空間維數(shù)n=2；而對(duì)任意的p>1和

6、任意的n≥2，這一問(wèn)題的解均為負(fù)。 L<,p>-Winterniz單調(diào)性問(wèn)題則探討凸體的Firey投影的包含與凸體的L<,p>-仿射表面積比較之間的關(guān)系．關(guān)于這一問(wèn)題的相關(guān)文獻(xiàn)很多，但鮮有討論其一般解的。第五章完全解決了這一問(wèn)題，證明了L<,1>-Winterniz單調(diào)性問(wèn)題的解為肯定當(dāng)且僅當(dāng)空間維數(shù)n≤2；而同樣對(duì)任意的p>1和任意的N≥2，L<,p>-Winterniz單調(diào)性問(wèn)題的解都為否定．此外，我們還在第六章中研究了Ko